Przejdź do zawartości

Wiązka Gaussa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Wiązka Gaussa – pojęcie używane w optyce do opisu propagacji światła, w którym łączy się metody optyki geometrycznej i falowej. Opisuje monochromatyczną falę elektromagnetyczną rozchodzącą się wzdłuż osi. Cechy wiązki określane są przez rozwiązanie równań Maxwella dla fali o stałej częstotliwości, czyli z równania Helmholtza, z przybliżeniem przyosiowym.

W przekroju poprzecznym wiązki natężenie pola elektrycznego ma rozkład zgodny z krzywą Gaussa (stąd nazwa wiązki) o zmieniających się parametrach wzdłuż osi propagacji. Wiązka zwęża się w przybliżeniu liniowo aż do najwęższego punktu, zwanego ogniskiem lub talią wiązki, a następnie rozszerza się, wykazując zgodność z przewidywaniami praw dyfrakcji. Wzdłuż osi propagacji intensywność przestrzenna wiązki jest zgodna z profilem Lorentza, maksimum natężenia pola elektrycznego znajduje się w punkcie talii. Dla wiązki o określonym kierunku propagacji i długości fali wiązka Gaussa jest całkowicie określona przez podanie położenia przewężenia i średnicy wiązki w nim.

Promieniowanie o rozkładzie gaussowskim szczególnie dobrze opisuje emisję światła wielu laserów (wskaźnik dyfrakcji(inne języki)), ale może być również wykorzystywane w wielu innych sytuacjach związanych rozchodzeniem się promieniowania elektromagnetycznego. Analiza wiązki jest szczególnie interesująca, ponieważ z analizy fali elektromagnetycznej poprzez dość proste metody obliczeniowe umożliwia prezentację wielkości optyki falowej takich jak faza fali czy dyfrakcja światła.

Opis matematyczny

[edytuj | edytuj kod]

Osiowo symetryczną wiązkę Gaussa dla monochromatycznej fali, propagującą się w kierunku osi z, opisuje zależność na amplitudę pola elektrycznego. Rzeczywiste drgające pole elektryczne jest częścią rzeczywistą wyrażenia po przemnożeniu go przez czynnik zależności od czasu [1][2]:

gdzie:

  • r – promieniowa odległość od osi wiązki,
  • z – odległość osiowa od ogniska wiązki (lub „talii”),
  • ijednostka urojona,
  • liczba falowa, dla ośrodka o współczynniku załamania i długości fali
  • – amplituda natężenia pola elektrycznego w punkcie początkowym
  • – promień wiązki, w którym amplituda pola elektrycznego spada do 1/e jego wartości na osi w płaszczyźnie wzdłuż wiązki,
  • – promień wiązki w przewężeniu (talii),
  • – promień krzywizny frontów falowych wiązki w odległości
  • – faza Gouy’a w dodatkowy składnik fazowy, poza tym który można przypisać prędkości fazowej światła.

W powyższym wzorze funkcja eksponencjalna z argumentem urojonym (druga) opisuje przestrzenne drganie fali, natomiast amplitudę opisuje funkcja eksponencjalna o argumencie rzeczywistym. Rozkład amplitudy w dowolnej płaszczyźnie z może być opisany funkcją Gaussa:

Natężenie promieniowania wyraża irradiancja określona wzorem:

Promień wiązki

[edytuj | edytuj kod]

Za promień wiązki w przekroju prostopadłym do osi wiązki rozumie się promień okręgu utworzonego z punktów, w których amplituda pola elektrycznego jest mniejsza e razy od jej wartości na osi wiązki. W miejscu przewężenia wiązki średnica wiązki jest najmniejsza i jest oznaczana przez Promień wiązki opisuje zależność[3]:

W odległości od przewężenia natężenie wiązki jest równe:

Parametr nazywa się zakresem Rayleigha(inne języki). Obszar po obu stronach przewężenia w odległości zakresu Rayleigha nazywany jest głębią ostrości lub parametrem konfokalnym wiązki. Dla wiązki rozchodzącej się w próżni głębia ostrości jest równa jest równa:

W odległości znacznie większej od głębi ostrości promień wiązki jest proporcjonalny do odległości od przewężania i wynosi:

Dla małych kątów wartość funkcji tangens jest równa jej argumentowi, stąd rozbieżność wiązki:


Faza fali

[edytuj | edytuj kod]

Faza fali w wiązce gaussowskiej opisana jest wyrażeniem:

Powierzchnia falowa określona przez składnik jest falą płaską, drugi składnik sprawia, że fronty falowe są sferyczne, a promień sfery jest równy[4]:

Fala w centrum przewężenia jest płaska, co odpowiada, że promień jej frontu jest nieskończenie duży. Fala ma najmniejszy promień równy dla W odległości od centrum znacznie większej od zakresu Rayleigha promień fali jest proporcjonalny do odległości od centrum, co oznacza, że wiązka Gaussa daleko od źródła jest falą sferyczną wychodzącą z przewężenia.

Trzeci składnik, zwany przesunięciem fazowym Guoya, jest równy:

Zwiększa on odległość między frontami falowymi w porównaniu z długością fali zdefiniowaną dla fali płaskiej o tej samej częstotliwości. Oznacza to również, że fronty fazowe muszą rozchodzić się nieco szybciej, co prowadzi do skutecznie zwiększonej prędkości fazy lokalnej[5].

Właściwości wiązki

[edytuj | edytuj kod]

W charakterystycznych miejscach wiązka ma właściwości i może być przybliżona do[3]:

W pobliżu centrum wiązki i zachodzi:

  • natężenie światła w ma stałą wartość
  • promień frontów falowych jest bardzo duży
  • przesunięcie fazowe Guoya jest niewielkie

Wiązka taka może być przybliżona falą płaską.

W pobliżu odległości od przewężenia:

  • co skutkuje:
    • wiązka ma dwukrotnie większą powierzchnię,
    • natężenie światła jest połową natężenia w przewężeniu,
  • opóźnienie fazowe w stosunku do fali płaskiej wynosi
  • promień frontów fazowych (R) jest najmniejszy i wynosi

Wiązka może być przybliżeniem fali sferycznej o początku w miejscu

Daleko od przewężenia

  • promień wiązki jest proporcjonalny do odległości od przewężania,
    • powierzchnia wiązki rośnie proporcjonalnie do kwadratu odległości,
    • natężenie światła w pobliżu osi wiązki zmniejsza się odwrotnie proporcjonalnie do powierzchni wiązki,
  • promień frontów falowych rośnie proporcjonalnie do odległości,
  • przesunięcie fazowe Guoya jest niemal stałe, dążąc do w nieskończoności.

Wiązka taka może być przybliżona falą sferyczną o środku sfery w przewężeniu.

Znaczenie wiązek Gaussa

[edytuj | edytuj kod]

Znaczenie wiązek Gaussa wynika ze specjalnych właściwości[2]:

  • Wiązka Gaussa ma gaussowski rozkład w każdym jej przekroju, zmienia się tylko promień wiązki.
  • Wiązka gaussowska pozostaje gaussowska również po przejściu przez proste układy optyczne (np. idealne soczewki).
  • Wiązka gaussowska to samospójny rozkład pola najniższego rzędu w rezonatorach optycznych pod warunkiem, że nie ma elementów powodujących zniekształcenia wiązki. Z tego powodu wiązki wyjściowe wielu laserów są gaussowskie.
  • Światłowody jednomodowe mają zwykle profile wiązki zbliżone do gaussowskich, a w przypadkach innych profili, przybliżenie Gaussa jest popularne ze względu na stosunkowo proste obliczania propagacji wiązki.
  • Istnieją tak zwane tryby wyższego rzędu, m.in. typu Hermite-Gauss. Mają one bardziej skomplikowane wzory pól i wymagają więcej parametrów do opisu wiązki.
  • W przypadku rzeczywistych wiązek o niskiej jakości, można analizować je tak jakby były wiązkami gaussowskimi, przez wprowadzenie dodatkowych współczynników (M²).

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Wiązki gaussowskie. [dostęp 2022-08-30].
  2. a b Rüdiger Paschotta, RP Photonics Encyclopedia. Gaussian Beams [online].
  3. a b Optyka wiązek. Wiązka gaussowska [online].
  4. Wiązka gaussowska [online].
  5. Gouy Phase Shift [online].