Wzór Perrona

Wzór Perrona – twierdzenie analitycznej teorii liczb, które pozwala wyrazić sumę częściową wartości danej funkcji arytmetycznej przy pomocy skojarzonego z nią szeregu Dirichleta. Twierdzenie zostało nazwane po Oskarze Perronie. Wykorzystuje się je w dowodzie twierdzenia o liczbach pierwszych, aby problem dyskretny przeformułować w kategoriach funkcji zeta Riemanna.

Treść twierdzenia

Zapisywać będziemy $s=\sigma +it$, aby dla danej liczby zespolonej wyrazić jej część rzeczywistą i urojoną.

Niech

$F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}$

będzie szeregiem Dirichleta zbieżnym bezwzględnie dla $\sigma >\sigma _{a}$. Niech $c>0$, $x>0$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wówczas, dla $\sigma >\sigma _{a}-c$ zachodzi równość

$\sum _{n\leqslant x}'{\frac {f(n)}{n^{s}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-\infty i}^{c+\infty i}F(s+z){\frac {x^{z}}{z}}dz$,

gdzie

$\int _{c-\infty i}^{c+\infty i}f(z)dz=\lim _{T\to \infty }\int _{c-Ti}^{c+Ti}f(z)dz$

zapis ${\textstyle \sum '}$ oznacza, że ostatni składnik sumy pomnożony jest przez $1/2$, gdy $x$ jest liczbą całkowitą. W szczególności, gdy $s=0$, to

$\sum _{n\leqslant x}'f(n)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-\infty i}^{c+\infty i}F(z){\frac {x^{z}}{z}}dz$.

Korzystając z odwrotnej transformacji Mellina, treść dowodu można zapisać jako

$\sum _{n\leqslant x}'{\frac {f(n)}{n^{s}}}=\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \}(x)$,

gdzie $\varphi (z)=F(s+z)$.

Dowód

$c$ jest częścią rzeczywistą zmiennej $z$ pod całką, więc szereg $F(s+z)$ jest zbieżny bezwzględnie i jednostajnie na każdym zwartym podzbiorze półpłaszczyzny $\sigma +c>\sigma _{a}$. Stąd

$\int _{c-Ti}^{c+Ti}F(s+z){\frac {x^{z}}{z}}dz=\int _{c-Ti}^{c+Ti}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s+z}}}{\frac {x^{z}}{z}}dz=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}\int _{c-Ti}^{c+Ti}\left({\frac {x}{n}}\right)^{z}{\frac {dz}{z}}$.

Powyższą sumę można rozdzielić na części, gdzie $n<x$, $n>x$ i ewentualnie trzeci składnik.

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}\int _{c-Ti}^{c+Ti}\left({\frac {x}{n}}\right)^{z}{\frac {dz}{z}}=\sum _{n<x}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\int _{c-Ti}^{c+Ti}\left({\frac {x}{n}}\right)^{z}{\frac {dz}{z}}+\sum _{n<x}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\int _{c-Ti}^{c+Ti}\left({\frac {x}{n}}\right)^{z}{\frac {dz}{z}}+'{\frac {f(x)}{x^{s}}}\int _{c-Ti}^{c+Ti}{\frac {dz}{z}}$,

przy czym zapis $+'$ oznacza, że ostatnie wyrażenie uwzględnia się wtedy i tylko wtedy, gdy $x$ jest liczbą całkowitą. Reszta dowodu wynika z tożsamości

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-\infty i}^{c+\infty i}a^{z}{\frac {dz}{z}}={\begin{cases}1\quad {\text{dla}}\quad a>1,\\{\frac {1}{2}}\quad {\text{dla}}\quad a=1,\\0\quad {\text{dla}}\quad 0<a<1\end{cases}}$

prawdziwej dla dowolnych liczb rzeczywistych $a>0$, $c>0$ oraz z nierówności

$\left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-\infty i}^{c+\infty i}a^{z}{\frac {dz}{z}}\right|\leqslant {\frac {a^{c}}{\pi T\log(1/a)}}$

prawdziwej dla $0<a<1$. Dla $a=x/n>1$,

$\sum _{n<x}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\int _{c-Ti}^{c+Ti}\left({\frac {x}{n}}\right)^{z}{\frac {dz}{z}}=\sum _{n<x}{\frac {f(n)}{n^{s}}}$.

Zaś jeśli $a=x/n<1$, to

$\left|\sum _{n>x}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\int _{c-Ti}^{c+Ti}\left({\frac {x}{n}}\right)^{z}{\frac {dz}{z}}\right|\leqslant \sum _{n>x}{\frac {|f(n)|}{n^{\sigma }}}{\frac {2}{T}}\left({\frac {x}{n}}\right)^{c}{\frac {1}{\log \left({\frac {1+\lfloor x\rfloor }{x}}\right)}}={\frac {2}{T}}{\frac {x^{c}}{\log \left({\frac {1+\lfloor x\rfloor }{x}}\right)}}\sum _{n>x}{\frac {|f(n)|}{n^{c+\sigma }}}$,

gdzie $\lfloor \cdot \rfloor$ oznacza część całkowitą liczby. Występujący czynnik będący szeregiem jest skończony, więc prawa strona dąży do 0 gdy $T\to \infty$. To dowodzi wzór Perrona.

Przykłady

Klasyczne przykłady wykorzystania wzoru Perrona dotyczą przede wszystkim funkcji zeta Riemanna. Wszystkie one dotyczą przedstawienia funkcji na półpłaszczyźnie $\sigma >1$, ze względu na charakter twierdzenia.

$\zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor }{x^{s+1}}}dx$,

${\frac {1}{\zeta (s)}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(x)}{x^{s+1}}}dx$,

gdzie ${\textstyle M(x)=\sum _{n\leqslant x}\mu (n)}$ oznacza funkcję Mertensa,

$-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\psi (x)}{x^{s+1}}}dx,$

gdzie $\psi (x)$ jest drugą funkcją Czebyszewa.