Funkcja Mertensa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Wykres funkcji Mertensa dla argumentów od 1 do 10000.

Funkcja Mertensa - w teorii liczb funkcja zdefiniowana przez:

gdzie μ(k) jest funkcją Möbiusa[1][2][3].

Dla każdej liczby naturalnej k zachodzi , zatem [2].

Przypuszczenie Mertensa[edytuj | edytuj kod]

Franciszek Mertens wysunął przypuszczenie, jako, że dla każdego n

[4][2][3].

Fakt ten implikowałaby hipotezę Riemanna[4]. Jest to powiązane z faktem, iż jesli podzielimy funkcję Mertensa z danej liczby przez pierwiastek kwadratowy, uzyskamy ciąg zbliżony do sekwencji nietrywialnych zer funkcji dzeta Riemanna[2][3]. Okazuje się jednak, że przypuszczenie jest fałszywe; do dziś nie jest znany kontrprzykład, ale wiadomo, że znajduje się między 1014 a 3,21×1064[3]. Równoważne z hipotezą Riemanna jest zachodzenie dla każdego wzoru

[2].

Gdyby funkcja Möbiusa została zastała zastąpiona losowym ciągiem +1 i -1, to powyższa własność wynikałaby z prawa iterowanego logarytmu.

Ponadto, jeśli powyższy wzór jest prawdziwy, wynik funkcji pi możnaby przybliżyć wzorem:

, gdzie theta oznacza półpłaszczyznę , gdzie s to argument funkcji dzeta Riemanna[2].

Wzory[edytuj | edytuj kod]

.
  • , gdzie oznacza -ty ciąg Fareya.
  • M(n) to wyznacznik -tej macierzy Redheffera, w której , gdy j=1 lub i dzieli j, a pozostałe wyrazy są zerowe.

Obliczanie wartości funkcji[3][edytuj | edytuj kod]

Osoba Rok Granica oblizeń
Mertens 1897 104
von Sterneck 1897 1.5×105
von Sterneck 1901 5×105
von Sterneck 1912 5×106
Neubauer 1963 108
Cohen,Dress 1979 7.8×109
Dress 1993 1012
Lioen,van de Lune 1994 1013
Kotnik,van de Lune 2003 1014
Hurst 2016 1016

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Eric W. Weisstein, „Mertens Function” na MathWorld.
  2. a b c d e f Tadej Kotnik, Jan van de Lune, On the Order of the Mertens Function, „Experimental Mathematics”, 13 (4), 2004, s. 473–481, ISSN 1058-6458 [dostęp 2017-11-10].
  3. a b c d e Greg Hurst, Computations of the Mertens Function and Improved Bounds on the Mertens Conjecture, „arXiv:1610.08551 [math]”, 26 października 2016, arXiv:1610.08551 [dostęp 2017-11-10].
  4. a b Eric W. Weisstein, „Mertens Conjecture” na MathWorld.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Pintz, J. "An Effective Disproof of the Mertens Conjecture." Astérique 147-148, 325-333 i 346, 1987. (fr)