Funkcja Mertensa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Wykres funkcji Mertensa dla argumentów od 1 do 10 000

Funkcja Mertensa – w teorii liczb funkcja zdefiniowana jako:

gdzie jest funkcją Möbiusa[1][2][3].

Dla każdej liczby naturalnej zachodzi zatem [2].

Przypuszczenie Mertensa[edytuj | edytuj kod]

Franciszek Mertens wysunął przypuszczenie, że dla każdego

[2][3][4].

Fakt ten implikowałaby hipotezę Riemanna[4]. Jest to powiązane z faktem, iż jeśli podzielimy funkcję Mertensa z danej liczby przez pierwiastek kwadratowy, uzyskamy ciąg zbliżony do sekwencji nietrywialnych zer funkcji dzeta Riemanna[2][3]. Okazuje się jednak, że przypuszczenie to jest fałszywe; do dziś nie jest znany kontrprzykład, ale wiadomo, że znajduje się między [3] a [5]. Równoważne z hipotezą Riemanna jest zachodzenie dla każdego poniższego wzoru:

[2].

Gdyby funkcja Möbiusa została zastąpiona losowym ciągiem i to powyższa własność wynikałaby z prawa iterowanego logarytmu.

Ponadto, jeśli powyższy wzór jest prawdziwy, wynik funkcji pi można by przybliżyć wzorem

gdzie theta oznacza półpłaszczyznę
gdzie to argument funkcji dzeta Riemanna[2].

Wzory[edytuj | edytuj kod]

  • gdzie oznacza -ty ciąg Fareya.
  • M(n) to wyznacznik -tej macierzy Redheffera, w której gdy lub dzieli a pozostałe wyrazy są zerowe.

Obliczanie wartości funkcji[3][edytuj | edytuj kod]

Osoba Rok Granica obliczeń
Mertens 1897 104
von Sterneck 1897 1,5×105
von Sterneck 1901 5×105
von Sterneck 1912 5×106
Neubauer 1963 108
Cohen, Dress 1979 7,8×109
Dress 1993 1012
Lioen, van de Lune 1994 1013
Kotnik, van de Lune 2003 1014
Hurst 2016 1016

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Eric W. Weisstein, Mertens Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
  2. a b c d e f Tadej Kotnik, Jan van de Lune, On the Order of the Mertens Function, „Experimental Mathematics”, 13 (4), 2004, s. 473–481, ISSN 1058-6458 [dostęp 2017-11-10].
  3. a b c d e Greg Hurst, Computations of the Mertens Function and Improved Bounds on the Mertens Conjecture, „arXiv [math]”, 26 października 2016, arXiv:1610.08551 [dostęp 2017-11-10].
  4. a b Eric W. Weisstein, Mertens Conjecture, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
  5. J. Pintz, An effective disproof of the Mertens conjecture, 1987 [dostęp 2022-08-12] (ang.).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Pintz J., An Effective Disproof of the Mertens Conjecture, „Astérique” 1987, s. 147–148, 325–333, 346. (fr)