Funkcja Mertensa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

W teorii liczb funkcja Mertensa jest zdefiniowana przez:

gdzie μ(k) jest funkcją Möbiusa.

Dla każdej liczby naturalnej k zachodzi , zatem .

Nierówność

(przewidywana przez Mertensa) implikowałaby hipotezę Riemanna. Okazuje się jednak, że jest fałszywa; do dziś nie jest znany kontrprzykład, ale wiadomo, że znajduje się między 1014 a 3,21×1064. Równoważne z hipotezą Riemanna jest zachodzenie dla każdego wzoru

.

Gdyby funkcja Möbiusa została zastała zastąpiona losowym ciągiem +1 i -1, to powyższa własność wynikałaby z prawa iterowanego logarytmu.

Wzory[edytuj]

.
  • , gdzie oznacza -ty ciąg Fareya.
  • M(n) to wyznacznik -tej macierzy Redheffera, w której , gdy j=1 lub i dzieli j, a pozostałe wyrazy są zerowe.

Bibliografia[edytuj]

  • Pintz, J. "An Effective Disproof of the Mertens Conjecture." Astérique 147-148, 325-333 i 346, 1987. (fr)