Złożony proces Poissona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Złożony proces Poissonaproces stochastyczny, w którym w losowych momentach czasu (zadanymi procesem Poissona) następuje zmiana o losową wartość, po czym do czasu następnej zmiany wartość procesu jest wielkością stałą[1].

Definicja[edytuj]

Złożony proces Poissona zadany parametrem oraz funkcją gęstości prawdopodobieństwa ma dla dowolnego postać:

,

gdzie:

  • jest procesem Poissona o parametrze ,
  • są niezależnymi zmiennymi o takich samym rozkładzie danym gęstością ,
  • zmienne są również niezależne z danym procesem Poissona.

Własności[edytuj]

Jeżeli jest złożonym procesem Poissona, ma następujące własności:

  • dla każdego funkcja jest przedziałami stała i prawostronnie ciągła,
  • wartość oczekiwana w chwili wynosi: ,
  • wariancja w chwili wynosi: ,
  • funkcja charakterystyczna w chwili wynosi:

.

Związek z procesem Lévy'ego[edytuj]

Złożony proces Poissona jest procesem Lévy'ego. Ponadto, jeżeli proces Lévy'ego jest przedziałami stały, jest on złożonym procesem Poissona.

Przypisy

  1. R. Cont, P. Tankov, Financial Modelling With Jump Processes, Chapman & Hall/CRC, CRC Press Company, 2004.