Funkcja charakterystyczna (teoria prawdopodobieństwa)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Ten artykuł dotyczy teorii prawdopodobieństwa. Zobacz też: inne znaczenia tego wyrazu.
Definicja intuicyjna
Odpowiednik transformaty Fouriera dla miar probabilistycznych, rozkładów prawdopodobieństwa i zmiennych losowych.

Funkcją charakterystyczną rozkładu prawdopodobieństwa nazywa się funkcję zadaną wzorem

Jeżeli jest zmienną losową, a jest jej rozkładem, to jej funkcja charakterystyczna może być zapisana jako

gdzie to wartość oczekiwana.

Funkcja charakterystyczna, podobnie jak dystrybuanta, koduje pełną informację o rozkładzie. Jest ona dobrze określona (istnieje dla każdego rozkładu). Dla rozkładów ciągłych jest to transformata Fouriera funkcji gęstości prawdopodobieństwa:

stąd można ją uznać za uogólnienie transformaty Fouriera na dowolne rozkłady.

Dla rozkładów dyskretnych o masie prawdopodobieństwa skupionej w punktach

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • jest dodatnio określona,
  • jest jednostajnie ciągła,
  • jest funkcją rzeczywistą wtedy i tylko wtedy, gdy rozkład jest symetryczny,
  • dla rozkładów ciągłych (twierdzenie Riemanna-Lebesgue’a).

Funkcja charakterystyczna funkcji liniowej zmiennej losowej wyraża się za pomocą funkcji charakterystycznej zmiennej losowej według następującego wzoru:

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Niżej podano funkcje charakterystyczne znanych rozkładów Zawsze przy czym oraz Symbol oznacza indykator zbioru

Nazwa Oznaczenie Rozkład Funkcja charakterystyczna
jednopunktowy
dwupunktowy
Poissona
dwumianowy
geometryczny
jednostajny (na odcinku)
wykładniczy
normalny standardowy
normalny

Momenty[edytuj | edytuj kod]

Z funkcji charakterystycznej da się wyznaczyć momenty zmiennej losowej Istnieje też częściowe odwrócenie tego twierdzenia dla momentów parzystych.

Twierdzenie
Jeżeli istnieje -ty moment zmiennej losowej tzn. to istnieje również -ta pochodna funkcji charakterystycznej co więcej jest ona jednostajnie ciągła, oraz zachodzi

Dzięki temu wzór Taylora funkcji charakterystycznej wygląda następująco: jeżeli to

Twierdzenie
Jeżeli istnieje -ta pochodna funkcji charakterystycznej zmiennej losowej, gdzie oraz to istnieje -ty moment tej zmiennej losowej.

Rozkłady[edytuj | edytuj kod]

Kryterium określającego kiedy funkcja jest funkcją charakterystyczną pewnego rozkładu prawdopodobieństwa dostarcza twierdzenie Bochnera. Innym jest kryterium Pólya.

Funkcja charakterystyczna determinuje rozkład, tzn. jeśli są rozkładami prawdopodobieństwa na to jeśli mają one równe funkcje charakterystyczne, czyli to

Ponieważ ciąg jest zbieżny według rozkładu, jeżeli

dla dowolnej funkcji ciągłej i ograniczonej,

w szczególności dla (ciągłej i ograniczonej co do modułu przez 1), to

a więc zbieżność według rozkładu zmiennych losowych pociąga zbieżność punktową ich funkcji charakterystycznych. Twierdzenie Lévy’ego-Craméra jest nietrywialnym odwróceniem tego wyniku.

Dystrybuanta i gęstość[edytuj | edytuj kod]

Z tożsamości Parsevala wynika wzór na dystrybuantę rozkładu o funkcji charakterystycznej Jeżeli punkt jest punktem ciągłości, to

Odwrotna transformacja Fouriera umożliwia wyznaczenie gęstości: jeżeli jest całkowalna, to rozkład ten ma ograniczoną i ciągłą gęstość daną wzorem

Twierdzenie Plancherela mówi, iż jeżeli rozkład ma gęstość i funkcję charakterystyczną to jest całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowalna. Wtedy też

Niezależne zmienne losowe[edytuj | edytuj kod]

Funkcje charakterystyczne są szczególnie użyteczne do badania zmiennych będących funkcjami niezależnych zmiennych losowych. Jeżeli jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, a

gdzie to funkcja charakterystyczna dana jest wzorem

W szczególności co wynika wprost z definicji funkcji charakterystycznych (pierwsza i czwarta równość), własności funkcji wykładniczej (druga równość) i niezależności zmiennych losowych (trzecia równość):

Rozkłady wielowymiarowe[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli zaś jest wektorem losowym, a przez rozumie się ich iloczyn skalarny, to funkcję charakterystyczną wektora definiuje się analogicznie wzorem

lub w zapisie macierzowym

gdzie oznacza transpozycję (oba wektory są kolumnowe).

Funkcja charakterystyczna przekształcenia afinicznego wyraża się przez wzorem postaci:

gdzie jest przekształceniem liniowym (macierzą), zaś

Zmienne losowe niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy

Zgodnie z twierdzeniem Craméra-Wolda ciąg wektorów losowych zbiega według rozkładu do wektora wtedy i tylko wtedy, gdy zbiega według rozkładu do dla każdego

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]