Funkcja charakterystyczna (teoria prawdopodobieństwa)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy teorii prawdopodobieństwa. Zobacz też: inne znaczenia tego wyrazu.
Definicja intuicyjna
Odpowiednik transformaty Fouriera dla miar probabilistycznych, rozkładów prawdopodobieństwa i zmiennych losowych.

Funkcją charakterystyczną rozkładu prawdopodobieństwa nazywa się funkcję zadaną wzorem

.

Jeżeli jest zmienną losową, a jest jej rozkładem, to jej funkcja charakterystyczna może być zapisana jako

gdzie to wartość oczekiwana.

Funkcja charakterystyczna, podobnie jak dystrybuanta, koduje pełną informację o rozkładzie. Jest ona dobrze określona (istnieje dla każdego rozkładu). Dla rozkładów ciągłych jest to transformata Fouriera funkcji gęstości prawdopodobieństwa:

stąd można ją uznać za uogólnienie transformaty Fouriera na dowolne rozkłady.

Dla rozkładów dyskretnych o masie prawdopodobieństwa skupionej w punktach :

Własności[edytuj]

  • ,
  • ,
  • ,
  • jest dodatnio określona,
  • jest jednostajnie ciągła,
  • jest funkcją rzeczywistą wtedy i tylko wtedy, gdy rozkład jest symetryczny,
  • dla rozkładów ciągłych (twierdzenie Riemanna-Lebesgue'a).

Funkcja charakterystyczna funkcji liniowej zmiennej losowej wyraża się za pomocą funkcji charakterystycznej zmiennej losowej według następującego wzoru:

.

Przykłady[edytuj]

Niżej podano funkcje charakterystyczne znanych rozkładów . Zawsze , , przy czym oraz . Symbol oznacza indykator zbioru .

Nazwa Oznaczenie Rozkład Funkcja charakterystyczna
jednopunktowy
dwupunktowy
Poissona
dwumianowy
geometryczny
jednostajny (na odcinku)
wykładniczy
normalny standardowy
normalny

Momenty[edytuj]

Z funkcji charakterystycznej da się wyznaczyć momenty zmiennej losowej . Istnieje też częściowe odwrócenie tego twierdzenia dla momentów parzystych.

Twierdzenie 
Jeżeli istnieje n-ty moment zmiennej losowej , tzn. , to istnieje również n-ta pochodna funkcji charakterystycznej , co więcej jest ona jednostajnie ciągła, oraz zachodzi
.

Dzięki temu wzór Taylora funkcji charakterystycznej wygląda następująco: jeżeli , to

.
Twierdzenie 
Jeżeli istnieje n-ta pochodna funkcji charakterystycznej zmiennej losowej, gdzie oraz , to istnieje n-ty moment tej zmiennej losowej.

Rozkłady[edytuj]

Kryterium określającego kiedy funkcja jest funkcją charakterystyczną pewnego rozkładu prawdopodobieństwa dostarcza twierdzenie Bochnera. Innym jest kryterium Pólya.

Funkcja charakterystyczna determinuje rozkład, tzn. jeśli są rozkładami prawdopodobieństwa na , to jeśli mają one równe funkcje charakterystyczne, czyli , to .

Ponieważ ciąg jest zbieżny według rozkładu, jeżeli

, dla dowolnej funkcji ciągłej i ograniczonej,

w szczególności dla (ciągłej i ograniczonej co do modułu przez 1), to

,

a więc zbieżność według rozkładu zmiennych losowych pociąga zbieżność punktową ich funkcji charakterystycznych. Twierdzenie Lévy'ego-Craméra jest nietrywialnym odwróceniem tego wyniku.

Dystrybuanta i gęstość[edytuj]

Z tożsamości Parsevala wynika wzór na dystrybuantę rozkładu o funkcji charakterystycznej . Jeżeli punkt jest punktem ciągłości, to

.

Odwrotna transformacja Fouriera umożliwia wyznaczenie gęstości: jeżeli jest całkowalna, to rozkład ten ma ograniczoną i ciągłą gęstość daną wzorem

.

Tożsamość Plancherela mówi, iż jeżeli rozkład ma gęstość i funkcję charakterystyczną , to jest całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowalna. Wtedy też

.

Niezależne zmienne losowe[edytuj]

Funkcje charakterystyczne są szczególnie użyteczne do badania zmiennych będących funkcjami niezależnych zmiennych losowych. Jeżeli jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, a

,

gdzie , to funkcja charakterystyczna dana jest wzorem

.

W szczególności , co wynika wprost z definicji funkcji charakterystycznych (pierwsza i czwarta równość), własności funkcji wykładniczej (druga równość) i niezależności zmiennych losowych (trzecia równość):

.

Rozkłady wielowymiarowe[edytuj]

Jeżeli , zaś jest wektorem losowym, a przez rozumie się ich iloczyn skalarny, to funkcję charakterystyczną wektora definiuje się analogicznie wzorem

.

lub w zapisie macierzowym

,

gdzie oznacza transpozycję (oba wektory są kolumnowe).

Funkcja charakterystyczna przekształcenia afinicznego wyraża się przez wzorem postaci:

,

gdzie jest przekształceniem liniowym (macierzą), zaś .

Zmienne losowe niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy

.

Zgodnie z twierdzeniem Craméra-Wolda ciąg wektorów losowych zbiega według rozkładu do wektora wtedy i tylko wtedy, gdy zbiega według rozkładu do dla każdego .

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]