Równanie diofantyczne

Równanie diofantyczne – równanie postaci:

$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=0$

gdzie $f$ jest n-argumentową funkcją $(n\geq 2)$ i którego rozwiązania szukamy w dziedzinie liczb całkowitych. Jeżeli $f$ jest wielomianem ze współczynnikami całkowitymi to takie równanie nazywamy algebraicznym równaniem diofantycznym. 

Przykłady równań diofantycznych

• równanie $x^{n}+y^{n}=z^{n}\,$: dla $n=2\,$ równanie to obrazuje zależność między długościami boków w trójkącie prostokątnym (zobacz: trójki pitagorejskie). Dla $n>2\,$ równanie to nie ma rozwiązań – jest to treść wielkiego twierdzenia Fermata.
• równanie $ax+by=c\,$ (a, b, c są dane) jest równaniem diofantycznym liniowym. Ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy największy wspólny dzielnik liczb a i b dzieli c.
• równanie $2^{x}+1=y^{2}\,$ ma w liczbach naturalnych jedno rozwiązanie: (3,3)
• równanie $x^{y}=y^{x}\,$ ma w liczbach naturalnych dwa rozwiązania, gdy $x\neq y\,$: $x=2,y=4\,$ oraz $x=4\ {\mbox{,}}\ y=2\,$
• równanie $x^{2}-ny^{2}=1\,$ ($n>0\,$) zwane równaniem Pella (od nazwiska angielskiego matematyka Johna Pella; sam Pell nie zajmował się takimi równaniami) – jeżeli $n\,$ jest kwadratem liczby naturalnej, to równanie nie ma rozwiązań, jeżeli zaś nie jest, ma ich ono nieskończenie wiele. Rozwiązania te tablicuje się w zależności od $n\,$.
• równanie ${\tfrac {3^{a}\cdot k-1}{2^{a}\cdot k-1}}=2^{x}$ jest warunkiem istnienia tzw. pętli pierwszego stopnia w ciągu Collatza-Ulama, ma ono tylko jedno rozwiązanie, dla a=1, k=1 oraz x=1, które odpowiada występowaniu pętli trywialnej w tym ciągu.

Typowe problemy

Badając dane równanie diofantyczne staramy się przede wszystkim odpowiedzieć na następujące pytania: 

• Czy ma ono rozwiązania?
• Jeśli tak, to ile ich jest (skończenie, czy nieskończenie wiele)?
• Czy istnieje algorytm na ich wyznaczanie?

W przypadku wielu prostych równań te i inne pytania pozostawały bez odpowiedzi przed długie lata, a próby znalezienia ich częstokroć prowadziły do głębokich badań i rozwoju nowych teorii matematycznych. Klasycznym przykładem jest wielkie twierdzenie Fermata, które pozostawało bez dowodu przez blisko 350 lat.

Metody rozwiązywania

Podstawowe metody

Metoda dekompozycji

Polega na przekształceniu równania z postaci:

$D(x_{1},...,x_{n})=0$

do postaci:

$D_{1}(x_{1},...,x_{n})\cdot D_{2}(x_{1},...,x_{n})...D_{k}(x_{1},...,x_{n})=a$

gdzie $D_{1},D_{2},...,D_{k}\in \mathbb {Z} [X_{1},X_{2},...,X_{n}]$ i $a\in \mathbb {Z}$.

Następnie liczbę $a$ rozkładamy na $k$ czynników pierwszych. Każdy taki rozkłada daje układ równań postaci:

${\begin{alignedat}{7}D_{1}(x_{1},...,x_{n})=a_{1}\\D_{2}(x_{1},...,x_{n})=a_{2}\\...\\D_{k}(x_{1},...,x_{n})=a_{k}\end{alignedat}}$

Suma zbioru rozwiązań tych układów daje zbiór rozwiązań równania $D$.

Przykład

Rozważmy równanie:

$nm-2n+m-6=0$

I przekształćmy je w następujący sposób:

$n(m-2)+m-2=4$

$(m-2)(n+1)=(\pm 2)^{2}$

odpowiada to dwóm możliwościom:

$\left\{{m-2=2 \atop n+1=2}\right.$

$\left\{{m-2=-2 \atop n+1=-2}\right.$

co daje rozwiązanie:$\{m=4,n=1\}$ lub $\{m=0,n=-3\}$

Rozwiązania z wykorzystaniem nierówności

Metoda polega na ograniczeniu przestrzeni potencjalnych rozwiązań równania do skończonego zbioru.

Przykład

Szukamy wszystkich par liczb całkowitych $(n,m)$ spełniających równanie:

$n^{3}+m^{3}=(n+m)^{2}$

Po pierwsze, rozwiązaniem powyższego równania są wszystkie pary postaci $(k,-k),k\in \mathbb {Z}$

Teraz rozważmy takie rozwiązania, że $(n+m)\neq 0$, wtedy równanie możemy podzielić obustronnie przez $(n+m)$:

$n^{2}-nm+m^{2}=n+m$

i przekształcić do postaci:

$(n-m)^{2}+(n-1)^{2}+(m-1)^{2}=2$

Z tego wynikają nierówności $(n-1)^{2}\leq 1$ i $(m-1)^{2}\leq 1$ ograniczające położenie niewiadomych $n,m$ do przedziału $[0,2]$. Ponieważ rozpatrujemy rozwiązania w dziedzinie liczb całkowitych daje to dziewięć potencjalnych rozwiązań. Poprzez sprawdzenie każdej możliwości z osobna możemy pokazać, że rozwiązaniami są pary: $(0,1)$,$(1,0)$,$(1,2)$,$(2,1)$,$(2,2)$.

Zobacz też

• równanie diofantyczne (automatyka)
• zbiór diofantyczny
• dziesiąty problem Hilberta

Bibliografia

• Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu: An Introduction to Diophantine Equations A Problem-Based Approach. Birkhäuser, 2010. ISBN 978-0-8176-4548-9.