Wielkie twierdzenie Fermata

Z Wikipedii

Ten artykuł wymaga uzupełnienia źródeł podanych informacji.
Aby uczynić go weryfikowalnym, należy podać przypisy do materiałów opublikowanych w wiarygodnych źródłach.

Wielkie twierdzenie Fermata to twierdzenie, które brzmi następująco:

dla liczby naturalnej n > 2, nie istnieją takie liczby naturalne dodatnie x, y, z, które spełniałyby równanie xⁿ + yⁿ = zⁿ.

Arithmetica dzieło Diofantosa

Fermat zanotował je na marginesie łacińskiego tłumaczenia książki Arithmetica Diofantosa i opatrzył następującą uwagą:

znalazłem zaiste zadziwiający dowód tego twierdzenia. Niestety, margines jest zbyt mały by go pomieścić.

Twierdzenie zostało opublikowane w roku 1670, gdy odnaleziono je w pozostałych po śmierci pismach Fermata i z miejsca stało się wyzwaniem dla kolejnych pokoleń matematyków – wiadomo bowiem było, że wiele twierdzeń formułowanych przez Fermata okazało się prawdziwych, a ich dowody zostały znalezione przez innych. To jedno przez ponad 300 lat opierało się próbom dowodu w ogólności, znane były dowody szczególnych przypadków. Dlatego też nazwane zostało ostatnim twierdzeniem Fermata. Większość matematyków przypuszcza, że sam Fermat nie mógł znać poprawnego dowodu twierdzenia, za życia opublikował jedynie dowód w szczególnym przypadku n=4.

Andrew Wiles

Dowód ostatecznie został przeprowadzony przez angielskiego matematyka Andrew Johna Wilesa dopiero w roku 1994, co było jedną z największych sensacji naukowych XX wieku. Zajmował ok. 200 stron A4 i wyrażony był w języku topologii i krzywych eliptycznych.

W rzeczywistości dowód twierdzenia Fermata przeprowadzony przez Wilesa ma dosyć długą historię, a jego głównymi elementami było postawienie w 1955 przez Taniyamę pewnych pytań na temat funkcji eliptycznych, jego późniejsze prace wraz André Weilem i Shimurą i postawiona przez nich hipoteza Shimury-Taniyamy-Weila. W 1986 udowodniono, że istnieje związek między tą hipotezą, a twierdzeniem Fermata. Późniejsze prace matematyków pokazały, że gdyby twierdzenie Fermata było fałszywe to i hipoteza Shimury-Taniyamy-Weila byłaby fałszywa.

Tu wkroczył Wiles i udowodnił hipotezę STW. Na wykładach w dniach 21, 22 i 23 lipca 1993 roku przedstawił dowód tej hipotezy w kilku przypadkach, w tym wymaganych do udowodnienia wielkiego twierdzenia Fermata. Oszołomionej sali słuchaczy (ponieważ nie znali tematyki wykładu) nie pozostało nic jak nagrodzić oklaskami na stojąco matematyka, który rozwiązał problem nie poddający się dowodom przez 250 lat. Niestety pod koniec tego roku wykryto w rozumowaniu Wilesa luki, które na szczęście udało się uzupełnić po dwóch latach dalszej pracy.

Wielu matematyków nadal szuka klasycznego (bez odwołań do topologii) dowodu WTF, ocenia się że już zrobiono ok. 1% postępu przy dowodzie analitycznym. Istnieją dowody dla wybranych n podane przez takich matematyków jak Euler (n = 3), Dirichlet (n = 5, n = 14), Lamé (n = 7) i inni. Późniejsze prace innych matematyków i obliczenia numeryczne pozwoliły udowodnić WTF dla wszystkich n < 1 000 000.

[edytuj] Równoważna postać twierdzenia

Równoważną postać tego twierdzenia otrzymamy, gdy zezwolimy także na ujemne liczby całkowite x, y i z (ale nie zero)

dla liczby naturalnej n > 2, nie istnieją takie liczby całkowite niezerowe x, y, z, które spełniałyby równanie xⁿ + yⁿ = zⁿ.

Dowód równoważności: Dla n parzystego otrzymujemy natychmiast poprzednią postać twierdzenia. Dla n nieparzystego w każdym przypadku można równanie xⁿ + yⁿ = zⁿ, gdzie x,y,z są niezerowe przekształcić do postaci

(1)

X n + Y n = Z n

lub

(2)

X n + Y n + Z n = 0

gdzie X>0, Y>0, Z>0.

(1) to standardowa postać Wielkiego Twierdzenia Fermata, podana na początku tego artykułu, a (2) to równanie sprzeczne.

znak x	znak y	znak z	X	Y	Z	postać równania
+	+	+	X=x	Y=y	Z=z	(1)
+	+	-	X=x	Y=y	Z=-z	(2)
+	-	+	X=z	Y=-y	Z=x	(1)
+	-	-	X=x	Y=-z	Z=-y	(1)
-	+	+	X=z	Y=-x	Z=y	(1)
-	+	-	X=-z	Y=y	Z=-x	(1)
-	-	+	X=-x	Y=-y	Z=z	(2)
-	-	-	X=-x	Y=-y	Z=-z	(1)