Trójkąt prostokątny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Trójkąt prostokątny
a, b - długości przyprostokątnych,
c - długość przeciwprostokątnej,
α, β - miary kątów ostrych,
h - długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną

Trójkąt prostokątny - trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty.

Dwa boki trójkąta wyznaczające ramiona kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi, trzeci bok przeciwprostokątną.

Szczególnym rodzajem trójkąta prostokątnego jest trójkąt pitagorejski tj. taki, w którym długości boków są liczbami naturalnymi. Najprostszy z nich to trójkąt egipski o stosunkach długości boków 3:4:5 [1].

Trójkąt prostokątny jest figurą, na której opierają się podstawowe definicje funkcji trygonometrycznych kątów przy przeciwprostokątnej.

Własności geometryczne[edytuj | edytuj kod]

Związki metryczne[edytuj | edytuj kod]

  • Boki trójkąta prostokątnego spełniają twierdzenie Pitagorasa;
  • Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną ma długość {{ab}\over{c}}, jest ona zarazem średnią geometryczną długości odcinków, na które dzieli przeciwprostokątną spodek wysokości
  • Pole powierzchni trójkąta prostokątnego dane jest wzorami:
S={\tfrac{1}{2}{c}\cdot{h}}

S={\tfrac{1}{2}{a}\cdot{b}}

S={{\tfrac{1}{2} b^2 \operatorname{tg}\alpha}}={{\tfrac{1}{2}a^2\operatorname{tg}\beta}},

S={\tfrac{1}{4}c^2 \operatorname{sin}2\alpha}= {\tfrac{1}{4}c^2 \operatorname{sin}2\beta}
  • Promień okręgu opisanego wyraża się wzorem: R ={\tfrac{1}{2} c}
  • Promień okręgu wpisanego wyraża się wzorem: r = \frac{a+b-c}{2}

Dowód: Zgodnie z wzorem na różnicę kwadratów: (a+b-c)(a+b+c)=(a+b)^2-c^2. Z twierdzenia Pitagorasa wynika: (a+b)^2-c^2=2ab. Zatem z wzorów na pole trójkąta: S=pr=\frac{1}{2}ab=\frac{a+b-c}{2} p i r=\frac{a+b-c}{2}.

  • Niech r_1,r_2 oznaczają promienie okręgów wpisanych w trójkąty, na które dzieli go wysokość. Wówczas zachodzą równości:
r+r_1+r_2=h

Dowód: Z wzoru na promień okręgu wpisanego: r = \frac{a+b-c}{2}, r_1 = \frac{y+h-a}{2}, r_2 = \frac{x+h-b}{2}, gdzie x,y to długości odcinków, na które wysokość dzieli c. Zatem (x+y=c) \frac{a+b-c}{2}+\frac{y+h-a}{2}+\frac{x+h-b}{2}= \frac{2h}{2}.

r_1^2+r_2^2=r^2

co wynika z twierdzenia Pitagorasa i podobieństwa trójkątów.

r=\frac{r_a r_b}{r_c}
r_c=r+r_a+r_b

Przypisy

  1. Znany był w starożytnym Egipcie (stąd nazwa), w piramidzie Cheopsa znajduje się komnata królewska o wymiarach: 3, 4, 5

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Henryk Pawłowski: Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Trygonometria i geometria. Wyd. 1 uzupełnione. Toruń: Oficyna Wydawnicza "Tutor", 2003, s. 224-225. ISBN 83-86007-63-X. (pol.)