Ameba (matematyka)

Ameba – zbiór związany z wielomianem jednej lub wielu zmiennych zespolonych. Ameby znajdują zastosowanie w geometrii algebraicznej.

Rozważmy funkcję:

${\mbox{Log}}\colon \left({\mathbb {C} }\backslash \{0\}\right)^{n}\to \mathbb {R} ^{n},\ {\mbox{Log}}(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})=(\ln |z_{1}|,\ln |z_{2}|,\dots ,\ln |z_{n}|)$

Ameba wielomianu
$p(z,w)=w-2z-1.\,$

Ameba wielomianu
$p(z,w)=3z^{2}\,$
$+5zw+w^{3}+1.\,$
Wewnątrz ameby widoczna "wakuola".

Ameba wielomianu
$P(z,w)=1+z\,$ $+z^{2}+z^{3}+z^{2}w^{3}\,$ $+10zw+12z^{2}w\,$ $+10z^{2}w^{2}.\,$

Ameba wielomianu
$P(z,w)=50z^{3}\,$ $+83z^{2}w+24zw^{2}\,$ $+w^{3}+392z^{2}\,$ $+414zw+50w^{2}\,$ $-28z+59w-100.\,$

Niech $p(z)$ będzie wielomianem $n$ zmiennych zespolonych – jego pierwiastki są wektorami postaci $z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})$. Amebą wielomianu $p$ nazywamy zbiór ${\mathcal {A}}_{p}$:

${\mathcal {A}}_{p}=\left\{{\mbox{Log}}(z)\colon \,z\in \left({\mathbb {C} }\backslash \{0\}\right)^{n},p(z)=0\right\}.\,$

Ameby zostały zdefiniowane w 1994 roku, w książce Gelfanda, Kapranowa, i Żełwińskiego.

Własności

• Ameba jest zbiorem domkniętym.
• Ameba wielomianu dwu zmiennych zespolonych, różnego od wielomianu zerowego, jest miary dodatniej.

Linki zewnętrzne

• Ameby w geometrii algebraicznej