Aproksymacja diofantyczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Aproksymacja diofantyczna – dziedzina teorii liczb badająca możliwości przybliżania liczb rzeczywistych liczbami wymiernymi i stopień dokładności takiego przybliżenia.

Zgrubnym miernikiem dokładności przybliżenia jest wartość bezwzględna różnicy między daną liczbą rzeczywistą, a jej przybliżeniem, subtelniejsze rozważania uwzględniają również wielkość mianownika odpowiedniego ułamka.

Nazwa pochodzi od imienia Diofantosa z Aleksandrii.

Można przyjąć, że pierwsze systematyczne badania w tej dziedzinie mają początek w pracach Liouvilla dotyczących istnienia liczb przestępnych (tzw. liczb Liouville'a). Wcześniej wiedziano sporo na temat przybliżania liczb niewymiernych ułamkami łańcuchowymi, znane było też twierdzenie Dirichleta o aproksymacji, jednak dopiero od Liouville'a zagadnieniom tym poświęcono systematyczną uwagę.

Wyniki Liouville'a, które były efektywne, poprawił Axel Thue i jego następcy, ale stracili efektywność: udowodnione w roku 1955 twierdzenie Thue-Siegela-Rotha mówi, że jeśli liczba α jest algebraiczna, to dla dowolnego ε > 0 nierówność:

\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|<q^{-(2+\epsilon)}

ma tylko skończenie wiele rozwiązań w liczbach p i q względnie pierwszych i wykładnika po prawej stronie nie da się już zmniejszyć.

Twierdzenie Thuego-Siegela-Rotha zostało uogólnione na przypadek jednoczesnej aproksymacji skończonego zbioru liczb, przez Wolfanga M. Schmidta, wciąż nieefektywnie, co czyni ten wynik, i jego nieefektywnych poprzedników, mało przydatnymi do obliczeń.

Druga grupa zagadnień badanych w teorii aproksymacji to problematyka równomiernego rozkładu. Podstawowym wynikiem w tym kierunku jest kryterium Weyla, które z kolei pokazuje związek aproksymacji diofantycznej z analityczną teorią liczb. Inne problemy, jakie mogą się tu pojawiać, wiążą się z nieregularnościami rozkładu.

Jak w innych działach teorii liczb, również tu istnieje wiele nierozwiązanych, a prosto sformułowanych problemów. Jednym z nich jest hipoteza Littlewooda (dane z roku 2004), która głosi, że dla dowolnych liczb niewymiernych α i β

\liminf_{n\to\infty} \ n\cdot \|n\alpha\| \cdot \|n\beta\| = 0,

gdzie \|x\| jest odległością od liczby x do najbliższej liczby całkowitej:  \|x\|:= \min(\{ x\}, 1 - \{x\}) (zob. część ułamkowa).