Fala stojąca

Fala stojąca – fala, której grzbiety i doliny nie przemieszczają się. Fala stojąca powstaje na skutek interferencji dwóch takich samych fal poruszających się w przeciwnych kierunkach. Zwykle efekt ten powstaje np. poprzez nałożenie na falę biegnącą fali odbitej.

Fala stojąca to w istocie drgania ośrodka, nazywane też drganiami normalnymi. Idealna fala stojąca rożni się od fali biegnącej tym, że nie ma tu propagacji drgań, nie występuje zatem np. czoło fali. Miejsca gdzie amplituda fali osiąga maksima nazywane są strzałkami, zaś te, w których amplituda jest zawsze zerowa, węzłami fali stojącej. Rysunek przedstawia idealną (zupełną) falę stojącą. W przypadku niewielkiej niezgodności częstotliwości węzły i strzałki mogą się przesuwać. Jeżeli występuje pewna niezgodność amplitud, wówczas nie ma pełnego wygaszenia drgań w węzłach.

Fala biegnąca (lub fala bieżąca) jest to fala, której punkty o jednakowej fazie (np. grzbiety) poruszają się.

Fala stojąca w ośrodku stacjonarnym. Punkty oznaczają węzły fali

Fala stojąca (czarna) będąca złożeniem dwóch fal biegnących w tym samym kierunku, ale o przeciwnych zwrotach (czerwona i niebieska)

Ruchomy ośrodek

Fale stojące mogą powstawać również w ośrodkach poruszających się. Wówczas węzły pozostają nieruchome względem ośrodka. Przykładem fali stojącej w poruszającym się ośrodku są fale atmosferyczne powstające w powietrzu przy odpowiednich warunkach meteorologicznych po zawietrznej stronie łańcuchów górskich. Tego typu fale często są wykorzystywane przez pilotów szybowców.

Fala stojąca a interferencja

Fala stojąca powstaje dzięki interferencji fal składowych. Interferencja jest nakładaniem się fal prowadzącym do wzmocnień i wygaszeń amplitudy.

Równanie fali stojącej

Równanie fali stojącej będącej sumą dwu fal biegnących w przeciwnych kierunkach

$\psi = \psi_{1} + \psi_{2}= A \sin (\omega t-kx +\varphi_1)+A \sin (\omega t+kx+\varphi_2) \,$

$\psi = 2A\cos(kx+\varphi_3)\sin(\omega t+\varphi_4)=B(x)\sin(\omega t+\varphi_4)\,$

gdzie:

$\varphi_3 = \frac {\varphi_2 - \varphi_1} 2 \,$

$\varphi_4 = \frac {\varphi_1 + \varphi_2} 2 \,$

$B(x) = 2A \cos(kx+\varphi_3)\,$ - wartość bezwzględna z B(x) jest amplitudą drgań w miejscu x.

Amplituda drgań osiąga największe wartości (równe 2A) dla położeń x spełniających warunek

$kx+\varphi_3 = n\pi \,$

gdzie n = 0,1,2... W tych miejscach ośrodek drga najsilniej (powstają strzałki). Położenie węzłów można znaleźć z równania

$kx+\varphi_3 = n\pi + \frac{\pi}{2}\,$

Struna zamocowana na dwóch końcach

Fala wzbudzona na obustronnie zamocowanej strunie powstaje na skutek nakładania się (interferencji) fali biegnącej w kierunku zamocowania z falą odbitą. Z oczywistych względów na umocowanych końcach powstają węzły fali.

Zastosowanie wyprowadzonych równań do opisu fali stojącej w takiej strunie wymaga nałożenia na te równania warunków brzegowych (powstawanie węzłów na końcach). Z warunku, że dla x = 0 powstaje pierwszy (n = 0) węzeł wynika, że

$\varphi_3 = \frac{\pi} {2}$

Z warunku, że dla x = L (gdzie L jest długością struny) powstaje również węzeł wynika

$k = \frac{m\pi} {L}$

gdzie m = n + 1 (może to być drugi lub kolejny węzeł).

Warunki te oznaczają, że w strunie mogą istnieć tylko drgania o określonej liczbie falowej (k), warunkom tym odpowiada, że równanie fali może być opisane wzorem:

$\psi =A \sin \left( \frac{m\pi }{L}x \right)\cos \left( \omega t+\varphi \right)$

Długość takiej fali określona jest wzorem:

$\lambda_{m}= \frac{2\pi}{k} = {2L \over m}$

Prędkość rozchodzenia się fali (prędkość fazowa) v jest równa:

$v = \frac {\omega} k$

skąd wynika, że

$\omega = v k = \frac {m\pi} L v = \omega_0 m$

gdzie

$\omega_0 = \frac \pi L v$

Ze wzoru tego wynika, że jeżeli prędkość fali w strunie nie zależy od długości fali, to w strunie mogą powstawać drgania o częstotliwości równej wielokrotności drgań częstotliwości podstawowej.

Każde drganie struny można zapisać jako sumę drgań składowych w postaci

$\psi \left( t \right)=\sum\limits_{m=1}^{\infty }{A_{m}}\sin (m \omega _{0}t)=A_{1}\sin (\omega _{0}t)+A_{2}\sin (2\omega _{0}t)+A_{3}\sin (3\omega _{0}t)+...$

Drganie o najmniejszej częstotliwości ω₀ nazywa się drganiem podstawowym, drgania o kolejnych częstotliwościach - wyższymi składowymi harmonicznymi.

Struna zamocowana w jednym końcu

Gdy fala dochodzi do swobodnego końca struny, też odbija się. Na niezamocowany koniec struny nie działa siła, dlatego ten koniec struny musi być równoległy do osi struny niedrgającej. Oznacza to, że na swobodnym końcu powstaje strzałka fali stojącej.

Długość takiej fali określona jest w tej sytuacji wzorem:

$\lambda = \frac {4L} {2n-1}$

i

$\omega = \frac {2\pi (2n-1)} {4L} = (2n-1) \omega_0$.

Wartości jakie może przybierać częstość w strunie zamocowanej tylko z jednego końca ($\omega_0, 3 \omega_0, 5 \omega_0 ...$) są nieparzystymi wielokrotnościami częstości podstawowej.

Zjawisko odbicia sygnału od swobodnego (otwartego) lub zwartego końca linii przesyłowej powoduje powstawanie w niej fali stojącej, które utrudnia przesyłanie sygnałów w liniach transmisyjnych, a zapobiega się mu poprzez instalowanie na końcach linii urządzeń zapobiegających odbiciom (terminator).

Znaczenie zjawiska

Linia Lechera z 1902 roku, przyrząd służący do wytwarzania stojącej fali radiowej pomiędzy dwoma przewodami.

Zjawisko powstawania fali stojącej wykorzystywana jest w urządzeniach wytwarzających drgania, w celu wzmacniania fal o określonej częstotliwości (wnęka rezonansowa, pudło rezonansowe) w instrumentach muzycznych (piszczałki w organach), technice fal radiowych i mikrofalowych.

Fala stojąca powstaje też poprzez odbijanie się sygnału przesyłanego w linii przesyłowej i stanowi zjawisko utrudniające przesyłanie sygnałów. Dla linii takich określa się ‘’współczynnik fali stojącej’’ określający stosunek amplitudy fali stojącej powstającej w linii przesyłowej do amplitudy fali przesyłanej.

Powstaje też w rezonatorze lasera, gdzie fala odbija się od zwierciadła na końcu rezonatora i interferuje z falą padającą tworząc falę stojącą.

Prezentacja fali stojącej

Do prezentacji zjawiska fali stojącej, tak wizualnej jak i akustycznej, opracowano wiele różnych pokazów, w tym najpopularniejsze:

• wąż gumowy przymocowany do ściany na jednym końcu i pobudzany do drgań ręką na drugim
• rurę Kundta
• rurę Rubensa
• rurę Quinckego
• linię Lechera
• falownicę

Bibliografia

1. F.C. Crawford, Fale, PWN 1973

Zobacz też

• ton podstawowy
• impuls falowy