Funkcja Żukowskiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja Żukowskiego – funkcja wymierna zmiennej zespolonej f: \mathbb{C}\setminus\{0\} \ni \zeta \rightarrow z \in \mathbb{C} określona wzorem:

z = \lambda (\zeta) = \frac{1}{2} \Bigg( \zeta + \frac{1}{\zeta} \Bigg).
Przykład transformaty Żukowskiego. Okrąg (powyżej) jest przekształcany na profil Żukowskiego (poniżej)

Odwzorowanie Żukowskiego przyporządkowujące punktowi \zeta = \chi + i \eta punkt z = x + iy można określić następująco

z = \frac{1}{2} \Bigg( \zeta+\frac{1}{\zeta} \Bigg)
= \frac{1}{2} \Bigg( \chi + i \eta + \frac{1}{\chi + i \eta}\Bigg)
= \frac{1}{2} \Bigg( \chi + i \eta + \frac{(\chi - i \eta)}{\chi^2 + \eta^2}\Bigg)
= \frac{1}{2} \Bigg( \frac{\chi (\chi^2 + \eta^2 + 1)}{\chi^2 + \eta^2} + i\frac{\eta (\chi^2 + \eta^2 - 1)}{\chi^2 + \eta^2}\Bigg)

Zatem jej część rzeczywista jest równa x = \frac{1}{2} \frac{\chi (\chi^2 + \eta^2 + 1)}{\chi^2 + \eta^2} a część urojona jest równa y = \frac{1}{2} \frac{\eta (\chi^2 + \eta^2 - 1)}{\chi^2 + \eta^2}

W obszarze \mathbb{C}\setminus\{0\} jest to funkcja holomorficzna, bo ma na nim różną od zera pochodną:

z' = \lambda' (\zeta) = \frac{1}{2} \Bigg( 1 - \frac{1}{{\zeta}^2} \Bigg)

Jej zastosowania w hydrodynamice odkrył uczony rosyjski Nikołaj Żukowski[1][2]. Z ich pomocą skonstruował on profil Żukowskiego, który jest obrazem okręgu stycznego do okręgu jednostkowego w punkcie \zeta = 1. Funkcję Żukowskiego (często w odniesieniu do przekształcenia konkretnego okręgu na profil) nazywa się także odwzorowaniem Żukowskiego lub transformacją Żukowskiego.

Funkcję tę można rozważać jako funkcję meromorficzną w płaszczyźnie zespolonej domkniętej[3]. Funkcja ta ma dwa bieguny pierwszego rzędu w punktach 0 i \infty[4].

Funkcja Żukowskiego odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie zarówno wnętrze, jak i zewnętrze okręgu jednostkowego na zewnętrze odcinka -1 \leqslant z \leqslant +1 (osi rzeczywistej). Przy tym okręgi |\zeta| = r są odwzorowywane na elipsy o ogniskach \pm 1 i półosiach \frac{1}{2} \Bigg| r \pm \frac{1}{r} \Bigg|, a pary średnic okręgu jednostkowego symetrycznych względem osi współrzędnych, składających się z promieni z = \pm r (\cos \alpha \pm i \;\sin \alpha) dla 0 \leqslant r < 1 są odwzorowywane na hiperbole o ogniskach \pm 1 i półosiach |\cos \alpha|, |\sin \alpha| z wyłączeniem wierzchołków tych hiperbol[5].

Przykłady profilów Żukowskiego[edytuj | edytuj kod]

Przekształcenie Żukowskiego okręgu jednostkowego jest przypadkiem szczególnym.

|\zeta| = \sqrt{\chi^2+\eta^2} = 1 \quad \text{co daje} \quad \chi^2+\eta^2 = 1

Dlatego część rzeczywista obrazu jest równa x = \frac{1}{2}\Bigg(\frac{\chi (1 + 1)}{1}\Bigg) = \chi, a część urojona y = \frac{1}{2}\Bigg(\frac{\eta (1 - 1)}{1}\Bigg) = 0

Stąd wynika, że okrąg jednostkowy jest przekształcany na przedział \langle -1; 1 \rangle osi liczb rzeczywistych.

Obrazy innych okręgów dają szerokie spektrum przekrojów skrzydeł.

Przekształcenie Kármána–Trefftza[edytuj | edytuj kod]

W celu subtelniejszego wykorzystania, funkcję Żukowskiego można przedstawić w postaci złożenia trzech funkcji, w każdej z których można umieścić pewien parametr. Nazywa się ją uogólnioną funkcją Żukowskiego lub odwzorowaniem Kármána-Trefftza i stanowi ważny instrument modelowania przepływów. Po pominięciu współczynnika \frac{1}{2} funkcja Żukowskiego może być przedstawiona jako złożenie trzech funkcji zespolonych.

z = f(\zeta)=\zeta+\frac{1}{\zeta}=S_3(S_2(S_1(\zeta))), gdzie

S_3(u)=2 \frac{1+u}{1-u},

\displaystyle S_2(v)=v^2,

S_1(w)=\frac{w-1}{w+1}, czyli

z = 2 \frac{1 + \left(\frac{\zeta - 1}{\zeta + 1}\right)^2}
             {1 - \left(\frac{\zeta - 1}{\zeta + 1}\right)^2} = 2 \frac{\left(1+\frac{1}{\zeta}\right)^2+\left(1-\frac{1}{\zeta}\right)^2}
             {\left(1+\frac{1}{\zeta}\right)^2-\left(1-\frac{1}{\zeta}\right)^2}.

Wynika to z tego, że po dodaniu i odjęciu 2 od funkcji Żukowskiego:


\begin{align}
  z + 2 &= \zeta + 2 + \frac{1}{\zeta}\, = \frac{1}{\zeta} \left( \zeta + 1 \right)^2, \\
  z - 2 &= \zeta - 2 + \frac{1}{\zeta}\, = \frac{1}{\zeta} \left( \zeta - 1 \right)^2.
\end{align}

oraz podzieleniu obu wyrażeń przez siebie otrzymuje się:


  \frac{z-2}{z+2} = \left( \frac{\zeta-1}{\zeta+1} \right)^2.

Rozwiązując to równanie względem z\; uzyskuje się:

z = 2 \frac{\left(\zeta + 1\right)^2+\left(\zeta - 1\right)^2}
             {\left(\zeta + 1\right)^2-\left(\zeta - 1\right)^2} = 2 \frac{\left(1+\frac{1}{\zeta}\right)^2+\left(1-\frac{1}{\zeta}\right)^2}
             {\left(1+\frac{1}{\zeta}\right)^2-\left(1-\frac{1}{\zeta}\right)^2}.


Przykład przekształcenia Kármána–Trefftza. Okrąg powyżej w ς-płaszczyźnie jest przekształcany na profil Kármána–Trefftza poniżej, w z-płaszczyźnie. Użyto parametrów: μx = –0.08, μy = +0.08 i n = 1.94.

Przekształcenie Kármána–Trefftza jest przekształceniem konforemnym ściśle związanym z przekształceniem Żukowskiego. Podczas gdy profil Żukowskiego ma szpiczastą krawędź spływu, profil Kármána–Trefftza — który jest obrazem przekształcenia okręgu z ς-płaszczyny w fizycznej z-płaszczyzny, analogicznie do definicji profilu Żukowskiego — ma niezerowy kąt w krawędzi spływu, między górną i dolną powierzchnią profilu. Przekształcenie Kármána–Trefftza wymaga zatem dodatkowego parametru: kąta α w krawędzi spływu. Przekształcenie to wyraża się wzorem:[6]


  z = n \frac{\left(1+\frac{1}{\zeta}\right)^n+\left(1-\frac{1}{\zeta}\right)^n}
             {\left(1+\frac{1}{\zeta}\right)^n-\left(1-\frac{1}{\zeta}\right)^n},
  (A)

gdzie parametr n jest nieco mniejszy od 2. Kąt α, między stycznymi do górnej i dolnej powierzchni profilu w krawędzi spływu jest związany z n następująco:[6]

\alpha = 2\pi\, -\, n\pi \quad \text{ i } \quad n=2-\frac{\alpha}{\pi}.

Pochodna dz/d\zeta, potrzebna do obliczenia pola prędkości, jest równa:


  \frac{dz}{d\zeta} = \frac{4n^2}{\zeta^2-1} \frac{\left(1+\frac{1}{\zeta}\right)^n \left(1-\frac{1}{\zeta}\right)^n}
                                                  {\left[ \left(1+\frac{1}{\zeta}\right)^n - \left(1-\frac{1}{\zeta}\right)^n \right]^2}.


Przypisy

  1. Н. Е. Жуковский: Гидродинамика. Собрание сочинений. T. 2. Москва-Ленинград: 1949.
  2. Н. Е. Жуковский: Теоретические основы воздухоплавания. Собрание сочинений. T. 6. Москва-Ленинград: 1950.
  3. Jan Krzyż, Julian Ławrynowicz: Elementy analizy zespolonej. Warszawa: PWN, 1981, s. 267.
  4. Jan Krzyż, Julian Ławrynowicz: Elementy analizy zespolonej. Warszawa: PWN, 1981, s. 267.
  5. А. И. Маркушевич: Краткий курс теории аналитических функций. Москва: Мир, 2006, s. 84–85. ISBN 5-03-003553-2.
  6. 6,0 6,1 Louis M. Milne-Thomson: Theoretical aerodynamics. Wyd. 4. Dover Publ., 1973, s. 128–131. ISBN 0-486-61980-X.