Okrąg

Okrąg

Okrąg – brzeg koła; zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.

Definicja

Niech $O(x_0,\ y_0)$ będzie ustalonym punktem, zaś r ustaloną liczbą dodatnią. Okręgiem nazywamy zbiór punktów $(x,\ y)$ płaszczyzny euklidesowej spełniającej równość

$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2= r^2. \,$

Jest to wzór geometrii analitycznej obowiązujący w kartezjańskim układzie współrzędnych. W tym samym układzie współrzędnych okrąg może być opisany również za pomocą równania parametrycznego

$\begin{cases} x = x_0 + r \cos \alpha, \\ y = y_0 + r \sin \alpha, \end{cases}$

gdzie parametr $\alpha \in (0,\ 2\pi).$

W ujęciu topologicznym okrąg jest to brzeg koła , domkniętego. Okrąg jest szczególnym przypadkiem elipsy o równych półosiach i jako taki jest krzywą stożkową.

Powiązane pojęcia

Punkt O nazywamy środkiem okręgu, zaś każdy z odcinków o początku O i końcu w jednym z punktów okręgu nazywamy promieniem, również długość r nazywana jest tym terminem.

Sieczna to prosta mająca z okręgiem dokładnie dwa punkty wspólne. Prostą mająca dokładnie jeden punkt wspólny nazywamy styczną do okręgu.

Cięciwą nazywamy odcinek wyznaczony przez punkty wspólne dowolnej siecznej i okręgu, czyli łączący dwa dowolne punkty okręgu.

Średnica okręgu to cięciwa przechodząca przez środek okręgu. Podobnie jak w przypadku promienia tym pojęciem określa się też długość tej cięciwy. Średnica zwyczajowo oznaczana jest przez d. Zachodzi równość d = 2r.

Jedną z najsłynniejszych stałych matematycznych jest stała π, która jest równa stosunkowi długości okręgu do jego średnicy. Stąd długość okręgu wyraża się wzorem:

$L = 2\pi r \,$

Pole powierzchni koła ograniczonego okręgiem (sam okrąg ma puste wnętrze, a więc i zerową powierzchnię) wyraża się wzorem:

$S = \pi r^2 \,$

Wzajemne położenie dwóch okręgów

Rozpatrzmy dwa okręgi o środkach O₁ i O₂ oraz promieniach odpowiednio r₁ i r₂. Przez d(O₁,O₂) rozumieć będziemy odległość między środkami okręgów.

na płaszczyźnie

Jeżeli leżą one na jednej płaszczyźnie, to mogą być one:

• identyczne – posiadają wspólny środek i mają równe promienie, należą do nich te same punkty: $O_1 = O_2 \and r_1 = r_2;$
• współśrodkowe – mają ten sam środek: O₁ = O₂;
• styczne wewnętrznie – mają dokładnie jeden punkt wspólny, jeden z nich leży w kole ograniczonym przez drugi okrąg: d(O₁,O₂) = | r₁ − r₂ | ;
• styczne zewnętrznie – mają dokładnie jeden punkt wspólny, żaden z nich nie leży w kole ograniczonym przez drugi okrąg: d(O₁,O₂) = r₁ + r₂;
• rozłączne – nie mają punktów wspólnych, przy czym albo jeden z nich leży w kole ograniczonym przez drugi: d(O₁,O₂) < | r₁ − r₂ | , albo leżą na zewnątrz swoich kół: d(O₁,O₂) > r₁ + r₂;
• przecinające się – posiadają dwa punkty wspólne: | r₁ − r₂ | < d(O₁,O₂) < r₁ + r₂.

w przestrzeni trójwymiarowej

Jeżeli dwa okręgi leżą w przestrzeni o co najmniej trzech wymiarach, to mogą być m.in.:

• współpłaszczyznowe – leżą na tej samej płaszczyźnie;
• identyczne – są współpłaszczyznowe, posiadają wspólny środek i mają równe promienie;
• styczne – mają dokładnie jeden punkt wspólny;
• rozłączne i splecione – każdy z nich ma jeden punkt wspólny z wnętrzem koła drugiego okręgu;
• rozłączne i nie splecione – żaden z nich nie ma punktu wspólnego z kołem drugiego okręgu.

Zanurzenia dwuwymiarowego okręgu

w przestrzeni trójwymiarowej

Okrąg o środku w punkcie $S(x_0,\ y_0,\ z_0)$ i promieniu r, zanurzony w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej, może być zdefiniowany jako część wspólna sfery o środku S i płaszczyzny przechodzącej przez S. Opisuje go układ równań:

$\begin{cases} A (x - x_0) + B (y - y_0) + C (z-z_0)=0, \\ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2, \end{cases}$

gdzie r > 0 oraz $A,\ B,\ C$ równocześnie się nie zerują.

w przestrzeni wielowymiarowej

Okrąg zanurzony w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej o środku w punkcie $S(s_1,\ s_2,\ \dots,\ s_n)$ i promieniu r może być zdefiniowany jako część wspólna (n − 1)-wymiarowej sfery o środku S oraz n − 2 hiperpłaszczyzn przechodzących przez S. Każdy okrąg w przestrzeni n-wymiarowej może zatem być opisany układem n − 1 równań:

$\begin{cases} a_{1,1} (x_1 - s_1) + a_{1,2} (x_2 - s_2) + \dots + a_{1,n} (x_n - s_n) = 0 \\ a_{2,1} (x_1 - s_1) + a_{2,2} (x_2 - s_2) + \dots + a_{2,n} (x_n - s_n) = 0 \\ \dots \\ a_{n-2,1} (x_1 - s_1) + a_{n-2,2} (x_2-s_2) + \dots + a_{n-2,n} (x_n - s_n) = 0 \\ (x_1 - s_1)^2 + (x_2 - s_2)^2 + \dots + (x_n - s_n)^2 = r^2 \\ \end{cases}$

Jednak nie każdy układ równań tej postaci generuje okrąg, np. jeśli dwa spośród tych równań będą liniowo zależne, zbiorem rozwiązań układu nie będzie okrąg, a np. sfera.

Uogólnienie na przestrzenie metryczne

Pojęcie okręgu może być uogólnione na dowolną przestrzeń metryczną w naturalny sposób. Odległością wg której definiuje się okrąg jest ustalona metryka. Tak więc, w dowolnej przestrzeni metrycznej $(X, \varrho)$ okrąg ze środkiem x₀ i promieniem r to zbiór punktów

$\{x\colon \varrho(x_0, x) = r\}.$

W tym rozumieniu często zamiast słowa "okrąg" stosuje się słowo "sfera".

Okręgiem w tym rozumieniu na płaszczyźnie z metryką euklidesową jest zwykły okrąg; istnieją jednak metryki na płaszczyźnie, w których okręgami są inne zbiory euklidesowe, np. kwadrat (o bokach równoległych do osi prostokątnego układu o równych jednostkach albo obrócony o $45^\circ$). Na prostej z metryką euklidesową okręgiem jest zbiór dwóch punktów równo oddalonych od środka. W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej odpowiednikiem okręgu jest dwuwymiarowa sfera.

Okręgi jednostkowe w metrykach L₁ (miasto), L₂ (euklidesowej) oraz L_∞ (maksimum)

Zobacz też

• sfera
• koło
• konstrukcje geometryczne
• cyrkiel
• półokrąg