Okrąg

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy krzywej zamkniętej. Zobacz też: miejscowość o tej nazwie.
WiktionaryPl nodesc.svg
Zobacz hasło okrąg w Wikisłowniku
Okrąg

Okrągbrzeg koła; zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech O(x_0,\ y_0) będzie ustalonym punktem, zaś r ustaloną liczbą dodatnią. Okręgiem nazywamy zbiór punktów (x,\ y) płaszczyzny euklidesowej spełniającej równość

(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2= r^2. \,

Jest to wzór geometrii analitycznej obowiązujący w kartezjańskim układzie współrzędnych. W tym samym układzie współrzędnych okrąg może być opisany również za pomocą równania parametrycznego

\begin{cases} x = x_0 + r \cos \alpha, \\ y = y_0 + r \sin \alpha, \end{cases}

gdzie parametr \alpha \in [0,\ 2\pi).

W ujęciu topologicznym okrąg jest to brzeg koła , domkniętego. Okrąg jest szczególnym przypadkiem elipsy o równych półosiach i jako taki jest krzywą stożkową.

Powiązane pojęcia[edytuj | edytuj kod]

Punkt O nazywamy środkiem okręgu, zaś każdy z odcinków o początku O i końcu w jednym z punktów okręgu nazywamy promieniem, również długość r nazywana jest tym terminem.

Sieczna to prosta mająca z okręgiem dokładnie dwa punkty wspólne. Prostą mająca dokładnie jeden punkt wspólny nazywamy styczną do okręgu.

Cięciwą nazywamy odcinek wyznaczony przez punkty wspólne dowolnej siecznej i okręgu, czyli łączący dwa dowolne punkty okręgu.

Średnica okręgu to cięciwa przechodząca przez środek okręgu. Podobnie jak w przypadku promienia tym pojęciem określa się też długość tej cięciwy. Średnica zwyczajowo oznaczana jest przez d. Zachodzi równość d=2r.

Jedną z najsłynniejszych stałych matematycznych jest stała π, która jest równa stosunkowi długości okręgu do jego średnicy. Stąd długość okręgu wyraża się wzorem:

L = 2\pi r \,

Pole powierzchni koła ograniczonego okręgiem (sam okrąg ma puste wnętrze, a więc i zerową powierzchnię) wyraża się wzorem:

S = \pi r^2 \,

Wzajemne położenie dwóch okręgów[edytuj | edytuj kod]

Rozpatrzmy dwa okręgi o środkach O_1 i O_2 oraz promieniach odpowiednio r_1 i r_2. Przez d(O_1, O_2) rozumieć będziemy odległość między środkami okręgów.

na płaszczyźnie[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli leżą one na jednej płaszczyźnie, to mogą być one:

  • identyczne – posiadają wspólny środek i mają równe promienie, należą do nich te same punkty: O_1 = O_2 \and r_1 = r_2;
  • współśrodkowe – mają ten sam środek: O_1 = O_2;
  • styczne wewnętrznie – mają dokładnie jeden punkt wspólny, jeden z nich leży w kole ograniczonym przez drugi okrąg: d(O_1, O_2) = |r_1 - r_2|;
  • styczne zewnętrznie – mają dokładnie jeden punkt wspólny, żaden z nich nie leży w kole ograniczonym przez drugi okrąg: d(O_1, O_2) = r_1 + r_2;
  • rozłączne – nie mają punktów wspólnych, przy czym albo jeden z nich leży w kole ograniczonym przez drugi: d(O_1, O_2) < |r_1 - r_2|, albo leżą na zewnątrz swoich kół: d(O_1, O_2) > r_1 + r_2;
  • przecinające się – posiadają dwa punkty wspólne: |r_1 - r_2| < d(O_1, O_2) < r_1 + r_2.

w przestrzeni trójwymiarowej[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli dwa okręgi leżą w przestrzeni o co najmniej trzech wymiarach, to mogą być m.in.:

  • współpłaszczyznowe – leżą na tej samej płaszczyźnie;
  • identyczne – są współpłaszczyznowe, posiadają wspólny środek i mają równe promienie;
  • styczne – mają dokładnie jeden punkt wspólny;
  • rozłączne i splecione – każdy z nich ma jeden punkt wspólny z wnętrzem koła drugiego okręgu;
  • rozłączne i nie splecione – żaden z nich nie ma punktu wspólnego z kołem drugiego okręgu.

Uogólnienie na przestrzenie metryczne[edytuj | edytuj kod]

Pojęcie okręgu może być uogólnione na dowolną przestrzeń metryczną w naturalny sposób. Odległością wg której definiuje się okrąg jest ustalona metryka. Tak więc, w dowolnej przestrzeni metrycznej (X, \varrho) okrąg ze środkiem x_0 i promieniem r to zbiór punktów

\{x\colon \varrho(x_0, x) = r\}.

W tym rozumieniu często zamiast słowa "okrąg" stosuje się słowo "sfera".

Okręgiem w tym rozumieniu na płaszczyźnie z metryką euklidesową jest zwykły okrąg; istnieją jednak metryki na płaszczyźnie, w których okręgami są inne zbiory euklidesowe, np. kwadrat (o bokach równoległych do osi prostokątnego układu o równych jednostkach albo obrócony o 45^\circ). Na prostej z metryką euklidesową okręgiem jest zbiór dwóch punktów równo oddalonych od środka. W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej odpowiednikiem okręgu jest dwuwymiarowa sfera.

Okręgi jednostkowe w metrykach L1 (miasto), L2 (euklidesowej) oraz L (maksimum)

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]