Okrąg
Z Wikipedii
Okrąg – zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu o zadaną odległość.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Niech
będzie ustalonym punktem, zaś r ustaloną liczbą dodatnią. Okręgiem nazywamy zbiór punktów
płaszczyzny euklidesowej spełniającej równość
Jest to wzór geometrii analitycznej obowiązujący w kartezjańskim układzie współrzędnych. W tym samym układzie współrzędnych okrąg może być opisany również za pomocą równania parametrycznego
gdzie parametr 
[edytuj] Pojęcia
Punkt S nazywamy środkiem okręgu, zaś każdy z odcinków o początku S i końcu w jednym z punktów okręgu nazywamy promieniem, również długość r nazywana jest tym terminem.
Sieczna to prosta mająca z okręgiem dokładnie dwa punkty wspólne. Prostą mająca dokładnie jeden punkt wspólny nazywamy styczną do okręgu.
Cięciwą nazywamy odcinek wyznaczony przez punkty wspólne dowolnej siecznej i okręgu, czyli łączący dwa dowolne punkty okręgu.
Średnica okręgu to cięciwa przechodząca przez środek okręgu. Podobnie jak w przypadku promienia tym pojęciem określa się też długość tej cięciwy. Średnica zwyczajowo oznaczana jest przez d. Zachodzi równość d = 2r.
[edytuj] Wzory
Najbardziej znaną stałą związaną z okręgiem jest liczba π wynosząca w przybliżeniu 3,14159265. Jest ona jedną z najsłynniejszych stałych matematycznych.
Długość okręgu wyraża się wzorem:
Pole powierzchni koła ograniczonego okręgiem (okrąg nie ma wnętrza, a więc i powierzchni) wyraża się wzorem:
[edytuj] Uwagi
- W ujęciu topologicznym okrąg to brzeg koła domkniętego.
- Okrąg jest szczególnym przypadkiem elipsy o równych półosiach i jako taki jest krzywą stożkową.
[edytuj] Przestrzeń trójwymiarowa
Okrąg o środku w punkcie
i promieniu r, zanurzony w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej, może być zdefiniowany jako część wspólna sfery o środku S i płaszczyzny przechodzącej przez S. Opisuje go układ równań:
gdzie r > 0 oraz
równocześnie się nie zerują.
[edytuj] Przestrzeń wielowymiarowa
Okrąg zanurzony w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej o środku w punkcie
i promieniu r może być zdefiniowany jako część wspólna (n − 1)-wymiarowej sfery o środku S oraz n − 2 hiperpłaszczyzn przechodzących przez S. Każdy okrąg w przestrzeni n-wymiarowej może zatem być opisany układem n − 1 równań:
Jednak nie każdy układ równań tej postaci generuje okrąg, np. jeśli dwa spośród tych równań będą liniowo zależne, zbiorem rozwiązań układu nie będzie okrąg, a np. sfera.
[edytuj] Wzajemne położenie dwóch okręgów
Rozpatrzmy dwa okręgi o środkach O1 i O2 oraz promieniach odpowiednio r1 i r2. Przez d(O1,O2) rozumieć będziemy odległość między środkami okręgów.
[edytuj] Płaszczyzna
Jeżeli leżą one na jednej płaszczyźnie, to mogą być one:
- identyczne – posiadają wspólny środek i mają równe promienie, należą do nich te same punkty:

- współśrodkowe – mają ten sam środek: O1 = O2;
- styczne wewnętrznie – mają dokładnie jeden punkt wspólny, jeden z nich leży w kole ograniczonym przez drugi okrąg: d(O1,O2) = | r1 − r2 | ;
- styczne zewnętrznie – mają dokładnie jeden punkt wspólny, żaden z nich nie leży w kole ograniczonym przez drugi okrąg: d(O1,O2) = r1 + r2;
- rozłączne – nie mają punktów wspólnych, przy czym albo jeden z nich leży w kole ograniczonym przez drugi: d(O1,O2) < | r1 − r2 | , albo leżą na zewnątrz swoich kół: d(O1,O2) > r1 + r2;
- przecinające się – posiadają dwa punkty wspólne: | r1 − r2 | < d(O1,O2) < r1 + r2.
[edytuj] Przestrzeń
Jeżeli dwa okręgi leżą w przestrzeni o co najmniej trzech wymiarach, to mogą być m.in.:
- współpłaszczyznowe – leżą na tej samej płaszczyźnie;
- identyczne – są współpłaszczyznowe, posiadają wspólny środek i mają równe promienie;
- styczne – mają dokładnie jeden punkt wspólny;
- rozłączne i splecione – każdy z nich ma jeden punkt wspólny z wnętrzem koła drugiego okręgu;
- rozłączne i nie splecione – żaden z nich nie ma punktu wspólnego z kołem drugiego okręgu.
[edytuj] Przestrzeń metryczna
Pojęcie okręgu może być uogólnione na dowolną przestrzeń metryczną w naturalny sposób. Odległością wg której definiuje się okrąg jest ustalona metryka. Więc, w dowolnej przestrzeni metrycznej
okrąg ze środkiem x0 i promieniem r to zbiór punktów
W tym rozumieniu często zamiast słowa "okrąg" stosuje się słowo "sfera".
Okręgiem w tym rozumieniu na płaszczyźnie z metryką euklidesową jest zwykły okrąg. Istnieją jednak metryki na płaszczyźnie, których okręgami są inne zbiory, na przykład, kwadrat (o bokach równoległych do osi prostokątnego układu o równych jednostkach i obrócony o
). Na prostej z metryką euklidesową okręgiem są zbiór dwóch punktów równo oddalonych od środka. W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej odpowiednikiem okręgu jest sfera.
[edytuj] Zobacz też






