Okrąg

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy krzywej zamkniętej. Zobacz też: miejscowość o tej nazwie.
Wikisłownik
Zobacz hasło okrąg w Wikisłowniku
Okrąg

Okrąg – zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu o zadaną odległość.

Spis treści

[edytuj] Definicja

Niech S(x_0,\ y_0) będzie ustalonym punktem, zaś r ustaloną liczbą dodatnią. Okręgiem nazywamy zbiór punktów (x,\ y) płaszczyzny euklidesowej spełniającej równość

: (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2= r^2. \,

Jest to wzór geometrii analitycznej obowiązujący w kartezjańskim układzie współrzędnych. W tym samym układzie współrzędnych okrąg może być opisany również za pomocą równania parametrycznego

\begin{cases} x = x_0 + r \cos \alpha, \\ y = y_0 + r \sin \alpha, \end{cases}

gdzie parametr \alpha \in (0,\ 2\pi).

[edytuj] Pojęcia

Punkt S nazywamy środkiem okręgu, zaś każdy z odcinków o początku S i końcu w jednym z punktów okręgu nazywamy promieniem, również długość r nazywana jest tym terminem.

Sieczna to prosta mająca z okręgiem dokładnie dwa punkty wspólne. Prostą mająca dokładnie jeden punkt wspólny nazywamy styczną do okręgu.

Cięciwą nazywamy odcinek wyznaczony przez punkty wspólne dowolnej siecznej i okręgu, czyli łączący dwa dowolne punkty okręgu.

Średnica okręgu to cięciwa przechodząca przez środek okręgu. Podobnie jak w przypadku promienia tym pojęciem określa się też długość tej cięciwy. Średnica zwyczajowo oznaczana jest przez d. Zachodzi równość d = 2r.

[edytuj] Wzory

Najbardziej znaną stałą związaną z okręgiem jest liczba π wynosząca w przybliżeniu 3,14159265. Jest ona jedną z najsłynniejszych stałych matematycznych.

Information icon.svg Osobny artykuł: Pi.

Długość okręgu wyraża się wzorem:

L = 2\pi r \,

Pole powierzchni koła ograniczonego okręgiem (okrąg nie ma wnętrza, a więc i powierzchni) wyraża się wzorem:

S = \pi r^2 \,

[edytuj] Uwagi

[edytuj] Przestrzeń trójwymiarowa

Okrąg o środku w punkcie S(x_0,\ y_0,\ z_0) i promieniu r, zanurzony w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej, może być zdefiniowany jako część wspólna sfery o środku S i płaszczyzny przechodzącej przez S. Opisuje go układ równań:

\begin{cases} A (x - x_0) + B (y - y_0) + C (z-z_0)=0, \\ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2, \end{cases}

gdzie r > 0 oraz A,\ B,\ C równocześnie się nie zerują.

[edytuj] Przestrzeń wielowymiarowa

Okrąg zanurzony w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej o środku w punkcie S(s_1,\ s_2,\ \dots,\ s_n) i promieniu r może być zdefiniowany jako część wspólna (n − 1)-wymiarowej sfery o środku S oraz n − 2 hiperpłaszczyzn przechodzących przez S. Każdy okrąg w przestrzeni n-wymiarowej może zatem być opisany układem n − 1 równań:

\begin{cases} a_{1,1} (x_1 - s_1) + a_{1,2} (x_2 - s_2) + \dots + a_{1,n} (x_n - s_n) = 0 \\ a_{2,1} (x_1 - s_1) + a_{2,2} (x_2 - s_2) + \dots + a_{2,n} (x_n - s_n) = 0 \\ \dots \\ a_{n-2,1} (x_1 - s_1) + a_{n-2,2} (x_2-s_2) + \dots + a_{n-2,n} (x_n - s_n) = 0 \\ (x_1 - s_1)^2 + (x_2 - s_2)^2 + \dots + (x_n - s_n)^2 = r^2 \\ \end{cases}

Jednak nie każdy układ równań tej postaci generuje okrąg, np. jeśli dwa spośród tych równań będą liniowo zależne, zbiorem rozwiązań układu nie będzie okrąg, a np. sfera.

[edytuj] Wzajemne położenie dwóch okręgów

Rozpatrzmy dwa okręgi o środkach O1 i O2 oraz promieniach odpowiednio r1 i r2. Przez d(O1,O2) rozumieć będziemy odległość między środkami okręgów.

[edytuj] Płaszczyzna

Jeżeli leżą one na jednej płaszczyźnie, to mogą być one:

  • identyczne – posiadają wspólny środek i mają równe promienie, należą do nich te same punkty: O_1 = O_2 \and r_1 = r_2;
  • współśrodkowe – mają ten sam środek: O1 = O2;
  • styczne wewnętrznie – mają dokładnie jeden punkt wspólny, jeden z nich leży w kole ograniczonym przez drugi okrąg: d(O1,O2) = | r1 − r2 | ;
  • styczne zewnętrznie – mają dokładnie jeden punkt wspólny, żaden z nich nie leży w kole ograniczonym przez drugi okrąg: d(O1,O2) = r1 + r2;
  • rozłączne – nie mają punktów wspólnych, przy czym albo jeden z nich leży w kole ograniczonym przez drugi: d(O1,O2) < | r1 − r2 | , albo leżą na zewnątrz swoich kół: d(O1,O2) > r1 + r2;
  • przecinające się – posiadają dwa punkty wspólne: | r1 − r2 | < d(O1,O2) < r1 + r2.

[edytuj] Przestrzeń

Jeżeli dwa okręgi leżą w przestrzeni o co najmniej trzech wymiarach, to mogą być m.in.:

  • współpłaszczyznowe – leżą na tej samej płaszczyźnie;
  • identyczne – są współpłaszczyznowe, posiadają wspólny środek i mają równe promienie;
  • styczne – mają dokładnie jeden punkt wspólny;
  • rozłączne i splecione – każdy z nich ma jeden punkt wspólny z wnętrzem koła drugiego okręgu;
  • rozłączne i nie splecione – żaden z nich nie ma punktu wspólnego z kołem drugiego okręgu.

[edytuj] Przestrzeń metryczna

Pojęcie okręgu może być uogólnione na dowolną przestrzeń metryczną w naturalny sposób. Odległością wg której definiuje się okrąg jest ustalona metryka. Więc, w dowolnej przestrzeni metrycznej (X, \varrho) okrąg ze środkiem x0 i promieniem r to zbiór punktów

\{x\colon \varrho(x_0, x) = r\}.

W tym rozumieniu często zamiast słowa "okrąg" stosuje się słowo "sfera".

Okręgiem w tym rozumieniu na płaszczyźnie z metryką euklidesową jest zwykły okrąg. Istnieją jednak metryki na płaszczyźnie, których okręgami są inne zbiory, na przykład, kwadrat (o bokach równoległych do osi prostokątnego układu o równych jednostkach i obrócony o 45^\circ). Na prostej z metryką euklidesową okręgiem są zbiór dwóch punktów równo oddalonych od środka. W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej odpowiednikiem okręgu jest sfera.

[edytuj] Zobacz też

Źródło „http://pl.wikipedia.org/wiki/Okr%C4%85g”