Lemat Urysohna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Lemat Urysohna - twierdzenie topologii ogólnej, mówiące, że dla każdej pary niepustych, domkniętych i rozłącznych podzbiorów A i B w przestrzeni metrycznej X (bądź ogólniej, przestrzeni normalnej X) istnieje taka funkcja ciągła

f: X → [0,1],

że f(x) = 0 dla każdego xA oraz f(x) = 1 dla każdego xB. Lemat Urysohna charakteryzuje przestrzenie normalne w tym sensie, iż przestrzeń topologiczna spełniająca warunek T1 jest normalna wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi teza powyższego stwierdzenia.

Twierdzenie to zostało udowodnione przez Pawła Urysohna i opublikowane w 1925 roku[1].

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Lematu Urysohna używa się często do dowodu twierdzenia Tietziego-Urysohna. Używany on bywa również do dowodu twierdzenia Riesza o reprezentacji funkcjonałów liniowych i ciągłych na przestrzeni Banacha C0(K) funkcji ciągłych i znikających w nieskończoności na lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa K.

Przypisy

  1. P. Urysohn, Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen, Math. Ann. 94 (1925), no. 1, 262–295.