Lemat Urysohna

Lemat Urysohna - twierdzenie, udowodnione w roku 1925 przez Pawła Urysohna, charakteryzujące przestrzenie normalne jako te i tylko te, w których możliwe jest funkcyjne oddzielanie zbiorów domkniętych. Dowód lematu Urysohna jest nieefektywny, to znaczy wykorzystuje pewną formę aksjomatu wyboru.

Twierdzenie

Przestrzeń topologiczna $X$ jest normalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych dwóch rozłącznych, domkniętych podzbiorów $A, B\subseteq X$ istnieje funkcja ciągła $f\colon X\to [0,1]$ taka, że $f(a)=0$ dla wszystkich $a\in A$ oraz $f(b)=1$ dla wszystkich $b\in B$.

Konsekwencje

Jednym z wniosków z lematu Urysohna jest fakt, iż każda przestrzeń T1 normalna jest całkowicie regularna.

Uogólnieniem lematu Urysohna jest twierdzenie Tietzego-Urysohna, przy dowodzie którego lemat ten jest zazwyczaj stosowany.