Przestrzeń metryczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń metrycznazbiór z określonym pojęciem odległości (nazywanej metryką) między jego elementami.

Przestrzenie metryczne tworzą najogólniejszą klasę obiektów, w których używa się pojęcia odległości wzorowanej na odległości znanej z przestrzeni euklidesowych (prostej, płaszczyzny czy przestrzeni trójwymiarowej).

Wprowadzone zostały przez Maurice'a Frécheta[1].

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech X oznacza dowolny niepusty zbiór. Metryką (w zbiorze X) nazywa się funkcję

d\colon X \times X \to [0, +\infty),

która dla dowolnych elementów a, b, c tego zbioru spełnia następujące warunki:

Gdy d jest metryką w zbiorze X, to para (X, d) nazywana jest przestrzenią metryczną.

Uwaga 1.[edytuj | edytuj kod]

Niekiedy pomija się warunek nieujemności d(a, b) \geqslant 0 przyjmując d\colon X \times X \to \mathbb R zamiast d\colon X \times X \to [0, +\infty).

Wynika on bowiem z wypisanych wyżej aksjomatów:

0 = d(a, a) \leqslant d(a, b) + d(b, a) = 2\cdot d(a, b).

Uwaga 2.[edytuj | edytuj kod]

Zastępując warunek trójkąta warunkiem następującej postaci

d(a, b) \leqslant d(a, c) + d(b, c)

można wyeliminować aksjomat symetrii. Rzeczywiście, przyjmując w powyższym warunku c=a dostajemy:

d(a, b) \leqslant d(a, a) + d(b, a)=d(b, a)

podobnie zamieniając a i b oraz przyjmując c=b dostaniemy:

d(b, a) \leqslant d(b, b) + d(a, b)=d(a, b)

Z powyższych dwóch nierówności wynika d(a, b) = d(b, a)\,.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathbf x = (x_1, x_2, \dots, x_n) oraz \mathbf y = (y_1, y_2, \dots, y_n) będą elementami przestrzeni \mathbb R^n.

Metryka euklidesowa[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: przestrzeń euklidesowa.

W przypadku jednowymiarowym metryka euklidesowa może być zadana za pomocą wartości bezwzględnej wzorem

d_e(x, y) = |y - x|.

Ogólnie, w przestrzeni \mathbb R^n metrykę euklidesową definiuje się wzorem

d_e(\mathbf x, \mathbf y) = \sqrt{(y_1 - x_1)^2 + \dots + (y_n - x_n)^2},

tzn. jako pierwiastek euklidesowego iloczynu skalarnego różnicy dwóch wektorów przez siebie:

d_e(\mathbf x, \mathbf y) = \sqrt{\langle \mathbf y - \mathbf x, \mathbf y - \mathbf x \rangle},

Metryka „miasto”[edytuj | edytuj kod]

Zielona przekątna – odległość względem metryki euklidesowej (\scriptstyle{6\sqrt{2}}, tj. ok. 8,48 j.)
Pozostałe krzywe – odległość względem metryki miejskiej (12 j.)

Metryka Manhattan, taksówkowa, miejska, wielkomiejska – odległość dwóch punktów w tej metryce to suma wartości bezwzględnych różnic ich współrzędnych.

W przestrzeni \mathbb R^n metryka ta dana jest wzorem

d_m(\mathbf x, \mathbf y) = \sum_{k=1}^n |x_k - y_k|.

Wyobraźmy sobie, że z jakichś powodów (kwadratowa sieć ulic przypominająca plan Manhattanu) możemy poruszać się jedynie w kierunkach wschód-zachód oraz północ-południe. Wtedy droga, jaką będziemy przebywać z jednego punktu do drugiego, wyniesie właśnie tyle, ile mówi o niej metryka miejska. W szczególności, jeśli n = 2, to

d_m(\mathbf x, \mathbf y) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2|.

Metryka maksimum[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: odległość Czebyszewa.

Metryka nieskończoność, maksimum, Czebyszewa, szachowa – metryka opisana wzorem

d_\infty(\mathbf x, \mathbf y) = \max_{k=1, \dots, n}~|x_k - y_k|.

Kula w tej metryce jest kostką n-wymiarową.

Metryka kolejowa[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: jeż (topologia).

Metryka kolejowa, centrum, węzła kolejowego, metra paryskiego – metryka na płaszczyźnie. Odległość dwóch punktów w tej metryce jest sumą euklidesowych ich odległości od punktu \mathbf 0 = (0, 0) lub – w przypadku, kiedy prosta łącząca te punkty przechodzi przez punkt \mathbf 0 – zwykła euklidesowa odległość.

Wyobraźmy sobie na przykład labirynt, którego korytarze są prostymi rozchodzącymi się gwiaździście z jednego punktu. Wtedy, aby dojść z jednego punktu do drugiego, musimy najpierw dojść do skrzyżowania (centrum), by skręcić w odpowiedni korytarz. Nie będziemy więc pokonywać rzeczywistej odległości między tymi punktami, lecz właśnie taką, jaką dyktuje nam metryka centrum.

Można ją przedstawić jako

d_k(\mathbf x, \mathbf y) = 
\begin{cases} 
d_e(\mathbf x, \mathbf y), & \mbox{gdy }\mathbf x, \mathbf y\mbox{ i }\mathbf 0 \mbox{ na jednej prostej;} \\
d_e(\mathbf x, \mathbf 0) + d_e(\mathbf 0, \mathbf y), & \mbox{w przeciwnym przypadku.} \end{cases}

Metryka „rzeka”[edytuj | edytuj kod]

Odległość w metryce rzeka.

Niech pod słowem „rzeka” kryje się ustalona prosta na płaszczyźnie (zazwyczaj y = 0). Wyobraźmy sobie, że znajdujemy się w bardzo gęstej dżungli, po której poruszać się można jedynie w kierunkach prostopadłych do rzeki oraz po samej rzece (po tych ścieżkach poruszamy się zgodnie z metryką euklidesową na płaszczyźnie). Tak określona odległość nosi nazwę metryki rzeki.

Niżej znajduje się wzór opisujący tę metrykę (por. rysunek)

d_r(A, B) = 
\begin{cases} 
d_e(A, B), & \mbox{gdy A, B na prostej ortogonalnej do rzeki;} \\
d_e(A , C_1) + d_e(C_1, C_2) + d_e(C_2, B), & \mbox{w przeciwnym wypadku.} \end{cases}

Metryka dyskretna[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: przestrzeń dyskretna.

Metryka dyskretna, zerojedynkowa – metryka na dowolnym zbiorze. Odległość między dowolnymi punktami wynosi 0, gdy są to te same punkty oraz 1 w innym przypadku. Przestrzeń metryczną z tą metryką nazywamy przestrzenią metryczną dyskretną:

d_d(a, b) = \begin{cases} 0, & \mbox{gdy } a = b; \\ 1, & \mbox{gdy } a \ne b. \end{cases}

Metryka w przestrzeni unormowanej[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: przestrzeń unormowana.

W każdej przestrzeni unormowanej (V, \|\cdot\|) można zdefiniować metrykę, wzorem:

d(x, y) = \|x-y\| dla x, y \in V.

Podsumowanie[edytuj | edytuj kod]

Dla n=1 metryki iniektywna, euklidesowa i Manhattan pokrywają się. Jeżeli n=2, to metryki iniektywna i Manhattan nie pokrywają się, ale czynią z płaszczyzny przestrzenie izometryczne (tzn. izomorficzne metrycznie, czyli nierozróżnialne metrycznie), gdyż w obu przypadkach kulami są kwadraty z przestrzeni euklidesowej, ale o różnym położeniu (odpowiednio o bokach równoległych do osi oraz obróconych względem osi o 45°).

Topologia przestrzeni metrycznych[edytuj | edytuj kod]

Każda przestrzeń metryczna X jest zarazem przestrzenią topologiczną. Bazę jej topologii stanowi rodzina wszystkich kul otwartych, tj. zbiorów postaci

B(x, r) = \{y \in X\colon d(x, y) < r\},

gdzie x jest dowolnym elementem przestrzeni X oraz r > 0. Innymi słowy, zbiór podzbiór U przestrzeni X jest otwarty, jeżeli wraz z każdym punktem xU zawiera on także pewną kulę otwartą B(x, r), której środkiem jest punkt x albo, równoważnie, zbiór U jest otwarty, wtedy i tylko wtedy, gdy jest on sumą pewnej rodziny kul otwartych (być może nieprzeliczalnej). Wyznaczona w ten sposób topologia na zbiorze X jest nazywana topologią indukowaną przez metrykę d.

Przestrzeń topologiczna (X, τ) jest metryzowalna, jeśli istnieje taka metryka d na zbiorze X, że kule otwarte w tej metryce są bazą topologii τ (tzn. gdy topologia τ jest generowana przez pewną metrykę d).

Z punktu widzenia topologii metryki służą badaniu przestrzeni metryzowalnych tak, jak układy współrzędnych służą badaniu przestrzeni euklidesowych. Przykładami twierdzeń dotyczących metryzacji przestrzeni topologicznych są

Własności[edytuj | edytuj kod]

Każda przestrzeń metryczna jest parazwarta, doskonale normalna, Hausdorffa, a ponadto spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności.

Niektóre własności topologiczne są równoważne w przestrzeniach metrycznych:

Dalsze definicje[edytuj | edytuj kod]

Odległość od zbioru[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: metryka Hausdorffa.

Odległością lub odstępem od zbioru A nazywa się funkcję

\delta_A(x) = \inf \big\{d(x, a)\colon a \in A\big\}.

Równoważność metryk[edytuj | edytuj kod]

Niech (X, d_1), (X, d_2) będą przestrzeniami metrycznymi. Metryki d_1, d_2równoważne (topologicznie), jeżeli definiowane przez nie topologie są identyczne, tzn. granice ciągów w obu metrykach są identyczne.

Metryki te są równoważne lipschitzowsko, jeżeli istnieją stałe c, C > 0, że dla każdego x, y \in X spełniony jest warunek c d_1(x, y) \leqslant d_2(x, y) \leqslant C d_1(x, y).

Metryki równoważne lipschitzowsko są równoważne topologicznie: jeśli pewien ciąg elementów zbioru X jest zbieżny w sensie metryki d_1, to jest także zbieżny w sensie metryki d_2.

W rzeczywistej przestrzeni liniowej skończonego wymiaru wszystkie metryki indukowane przez normy Banacha są równoważne lipschitzowsko, a więc i topologicznie. Ogólniej, gdy dwie normy Banacha, zdefiniowane na tej samej przestrzeni liniowej, są topologicznie równoważne, to są one także równoważne lipschitzowsko.

Niezmienniczość na przesunięcia[edytuj | edytuj kod]

Metrykę d nazywa się niezmienniczą ze względu na przesunięcia, jeśli na przestrzeni metrycznej X określone jest działanie dodawania +\colon X \times X \to X i dla dowolnych punktów a, x, y \in X zachodzi warunek

d(x, y) = d(x + a, y + a).

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Rozpatruje się wiele funkcji spełniających podobne zestawy aksjomatów:

  • zastępując aksjomat identyczności nierozróżnialnych następującym
d(a, a) = 0
uzyskuje się tzw. pseudometrykę.
  • funkcja d, która nie spełnia warunku symetrii, nazywana jest quasi-metryką.
  • zastąpienie warunku trójkąta aksjomatem
d(a, b) \leqslant \max \big\{d(a, c), d(c, b)\big\}
daje funkcję nazywaną ultrametryką.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22 (1906) 1–74

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]