Przestrzeń lokalnie zwarta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

W topologii, przestrzeń lokalnie zwarta to przestrzeń topologiczna która lokalnie wygląda tak jak przestrzeń zwarta. Ściśle mówiąc, przestrzeń topologiczna (X,\tau) jest lokalnie zwarta jeśli każdy punkt x\in X ma bazę otoczeń złożoną ze zbiorów warunkowo zwartych.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Następujące przestrzenie topologiczne są lokalnie zwarte:

Następujące przestrzenie nie są lokalnie zwarte:

  • przestrzeń \{(0,0)\}\cup\{(x,y)\in {\mathbb R}^2:y>0\} (z topologią podprzestrzeni płaszczyzny).

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli X jest przestrzenią T2, to
X jest przestrzenią lokalnie zwartą wtedy i tylko wtedy gdy każdy punkt x\in X ma otoczenie zwarte.
  • Każda lokalnie zwarta przestrzeń Hausdorffa jest całkowicie regularna.
  • Całkowicie regularna przestrzeń X jest lokalnie zwarta wtedy i tylko wtedy gdy jest ona otwartą podprzestrzenią swego uzwarcenia Čecha-Stone'a \beta X.
  • Każda lokalnie zwarta przestrzeń Hausdorffa jest zupełna w sensie Čecha.
  • Niezwarte, lokalnie zwarte przestrzenie Hausdorffa, to są dokładnie te przestrzenie których uzwarcenie jednopunktowe jest T2.
  • Zarówno otwarte jak i domknięte podprzestrzenie lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa są lokalnie zwarte.
  • Jeśli (X,\tau) jest lokalnie zwartą przestrzenią T2, U\in \tau oraz Z\subseteq U jest zwarty, to istnieje zbiór otwarty V\in\tau taki, że Z\subseteq V\subseteq {\rm cl}(V)\subseteq U oraz {\rm cl}(V) jest zwarte.
  • Na lokalnie zwartej grupie topologicznej można określić miarę (lewostronnie) niezmienniczą na działanie grupowe i mierzącą wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez zbiory zwarte; jest to tzw miara Haara.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]