Metoda Cranka-Nicolson

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Metoda Cranka-Nicolson - w analizie numerycznej popularna metoda uwikłana rozwiązywania znanych w fizyce i inżynierii równań różniczkowych cząstkowych metodą różnic skończonych.

Weźmy dla przykładu jednowymiarowe równanie dyfuzji:

{\partial u \over \partial t} = D \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

Przybliżając w nim pochodne za pomocą ilorazów różnicowych na jednorodnej siatce punktów możemy je zapisać jako

\frac{u_{i}^{n + 1} - u_{i}^{n}}{\Delta t} = \frac{D}{ (\Delta x)^2}
(u_{i + 1}^{n} - 2 u_{i}^{n} + u_{i - 1}^{n})

lub

u_{i}^{n + 1}  = u_{i}^{n} +{\Delta t} \frac{D}{ (\Delta x)^2}
(u_{i + 1}^{n} - 2 u_{i}^{n} + u_{i - 1}^{n})

gdzie dolny indeks i oznacza punkt na siatce a górny n chwilę dyskretnego czasu. Używanie ostatniego intuicyjnego wzoru akumuluje jednak niestabilności.

Metoda Cranka-Nicolson polega na użyciu po prawej stronie średniej arytmetycznej z wyrażeń w czasie obecnym i w czasie następnym w celu stabilizacji rozwiązania tak aby równanie to stało sie układem równań liniowych na wielkość w czasie następnym u_{i}^{n + 1} tzn.

\frac{u_{i}^{n + 1} - u_{i}^{n}}{\Delta t} = \frac{D}{2 (\Delta x)^2}\left(
(u_{i + 1}^{n + 1} - 2 u_{i}^{n + 1} + u_{i - 1}^{n + 1}) + 
(u_{i + 1}^{n} - 2 u_{i}^{n} + u_{i - 1}^{n})
\right)

czyli było w postaci uwikłanej.

Metoda Cranka-Nicolson zastosowana do równania Schrōdingera na siatce punktów równoważna jest metodzie Cayleya.