Równanie różniczkowe cząstkowe

Z Wikipedii

Równanie różniczkowe cząstkowe to równanie, w którym występuje niewiadoma funkcja dwóch lub więcej zmiennych oraz niektóre z jej pochodnych cząstkowych.

Typowe równanie różniczkowe cząstkowe możemy zapisać w następujący sposób.

Spis treści

1 Podstawowa definicja
2 Przykłady
- 2.1 Liniowe równanie różniczkowe cząstkowe
- 2.2 Nieliniowe równanie różniczkowe cząstkowe

[edytuj] Podstawowa definicja

Ustalmy liczbę całkowitą $k \ge 1$ , niech $U$ będzie otwartym podzbiorem $R n$ . Równanie postaci:

$F(D^ku(x), D^{k-1}u(x), ..., Du(x), u(x), x) = 0\, (x \in U)$ nazwiemy równaniem różniczkowym cząstkowym $k$ -tego rzędu.

Funkcja $F: R^{n^k} \times R^{n^{k-1}} \times ... \times R^n \times R \times U \to R$ jest dana, natomiast $u: U \to R$ jest niewiadomą.

$D^k u(x) := \{D^\alpha u(x) = \frac{\partial^{|\alpha|}u(x)}{\partial x_1^{\alpha_1}...\partial x_n^{\alpha_n}}| |\alpha| = k\}$ .

$α = (α 1,...,α n)$ o nieujemnych współrzędnych całkowitych $α i$ nazywamy wielowskaźnikiem długości $| α | = α 1 + ... + α n$ .

[edytuj] Przykłady

Wszędzie dalej przyjmujemy, że $t \ge 0$ oraz $x \in U$ , gdzie $U$ jest otwartym podzbiorem $R n$ . Ponadto $Du := D_x u = (u_{x_1}, ..., u_{x_n})$ oznacza gradient funkcji $u$ względem zmiennych przestrzennych $x = (x 1,..., x n)$ . Zmienną $t$ interpretujemy jako czas.