Równanie różniczkowe cząstkowe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Równanie różniczkowe cząstkowe to równanie, w którym występuje niewiadoma funkcja dwóch lub więcej zmiennych oraz niektóre z jej pochodnych cząstkowych.

Podstawowa definicja[edytuj | edytuj kod]

Typowe równanie różniczkowe cząstkowe możemy zapisać w następujący sposób. Niech k \geqslant 1 będzie liczbą całkowitą, a U\, otwartym podzbiorem \mathbb R^n. Równanie postaci:

F\left(D^ku(x), D^{k-1}u(x), \ldots, Du(x), u(x), x\right) = 0, gdzie x \in U

nazywa się równaniem różniczkowym cząstkowym k-tego rzędu.

Funkcja F\colon \mathbb R^{n^k} \times \mathbb R^{n^{k-1}} \times \ldots \times \mathbb R^n \times \mathbb R \times U \to \mathbb R jest dana, natomiast u\colon U \to \mathbb R jest niewiadomą.

D^k u(x) := \left\{D^\alpha u(x) = \frac{\partial^{|\alpha|}u(x)}{\partial x_1^{\alpha_1}\ldots\partial x_n^{\alpha_n}}\colon |\alpha| = k\right\},

gdzie \alpha\, jest n-wymiarowym wielowskaźnikiem.

Historia[edytuj | edytuj kod]

Równania różniczkowe cząstkowe pojawiły się w związku z badaniami procesów drgań rozmaitych środowisk, między innymi drgań strun, prętów, membran, jak również w związku z badaniami zagadnień z zakresu akustyki i hydromechaniki. Pierwsze równanie różniczkowe cząstkowe zostało sformułowane w połowie XVIII wieku przez J. D’Alemberta. Było to równanie – według dzisiejszej nomenklatury – typu hiperbolicznego i powstało w wyniku rozważań nad zagadnieniem struny drgającej. L. Euler (1707–1783) sprecyzował warunki określające jednoznaczność rozwiązania tego równania, tworząc początki teorii równań różniczkowych cząstkowych. Później, kierując się sugestiami natury fizycznej, D. Bernoulli przedstawił rozwiązanie struny drgającej w postaci szeregu trygonometrycznego. Metodę tę rozwinął J. Fourier (1750-1830) tworząc początki teorii szeregów trygonometrycznych. A.L. Cauchy sformułował zagadnienie początkowe dla równań różniczkowych, zwane dzisiaj zagadnieniem Cauchy’ego. P. Laplace zauważył, że potencjał siły wzajemnego przyciągania dwóch mas spełnia równanie różniczkowe cząstkowe, które dzisiaj nosi nazwę równania Laplace’a. S.D. Poisson rozwinął teorię zjawisk przyciągania grawitacyjnego, w związku z którą wprowadził równanie zwane dziś równaniem Poissona. Tak więc badania z zakresu mechaniki nieba i grawimetrii doprowadziły do powstania klasy równań noszących dziś nazwę równań eliptycznych. W początkach XIX wieku G. Green stworzył ogólne podstawy teorii potencjału rozwijając teorię elektryczności i magnetyzmu. Badania zjawiska przewodnictwa cieplnego oraz dyfuzji gazów i cieczy doprowadziły natomiast do powstania klasy równań, które nazywamy dzisiaj równaniami parabolicznymi.

Na przełomie XIX i XX wieku nastąpił bujny rozwój badań w zakresie teorii równań różniczkowych cząstkowych. Między innymi istotny wkład wnieśli tacy matematycy jak B. Riemann, H. Poincare, E. Picard, J. Hadamard, E. Goursat. Z polskich matematyków wymienić należy W. Pogorzelskiego oraz autora jednej z pierwszych monografii poświęconych równaniom różniczkowym cząstkowym - M. Krzyżańskiego. Jak widać równania różniczkowe cząstkowe zrodziły się w związku badaniami zagadnień fizyki i chociaż obecnie zakres ich zastosowań znacznie się rozszerzył, znakomita część równań różniczkowych cząstkowych nosi nazwę od zjawisk, które pierwotnie opisywały.

Wiek XX przyniósł dalszy bujny rozwój teorii równań różniczkowych cząstkowych, związany z powstaniem i rozwojem nowych działów matematyki, zwłaszcza analizy funkcjonalnej.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Wszędzie dalej przyjmujemy, że t \geqslant 0 oraz x \in U, gdzie U\, jest otwartym podzbiorem \mathbb{R}^n. Ponadto Du := D_x u = (u_{x_1}, ..., u_{x_n}) oznacza gradient funkcji u\, względem zmiennych przestrzennych x = (x_1,\ldots, x_n)\,. Zmienną t\, interpretujemy jako czas.

Równania różniczkowe liniowe pierwszego rzędu[edytuj | edytuj kod]

Przypomnijmy następującą definicję: Całkami pierwszymi układu równań różniczkowych zwyczajnych

\frac{dx_k}{dx_1}=\frac{X_2(x_1, \ldots, x_n)}{X_1(x_1, \ldots, x_n)} dla 2\leqslant k \leqslant n (*)

nazywamy funkcje

c_k=\psi_k(x_1, \ldots, x_n) dla 1\leqslant k\leqslant n-1,

powstałe całkowania równań w powyższym układzie.

Jeśli funkcje X_1, \ldots, X_n są klasy C^1 w pewnym obszarze D\subseteq \mathbb{R}^n oraz X_1\neq 0 wtedy każde rozwiązanie u(x_1, \ldots, x_n) równania

X_1(x_1, \ldots, x_n)\frac{\partial u}{\partial x_1}+\ldots + X_n(x_1, \ldots, x_n)\frac{\partial u}{\partial x_n}=0

można zapisać w postaci

u(x_1, \ldots, x_n)=\Phi(\psi_1, \ldots, \psi_{n-1}), gdzie \psi_1,\ldots, \psi_{n-1} są całkami pierwszymi układu (*) a \Psi jest dowolną funkcją klasy C^1 (n-1)-zmiennych.

Liniowe równanie różniczkowe cząstkowe[edytuj | edytuj kod]

  1. Równanie Laplace'a: \Delta u := \sum_{i=1}^n u_{x_i x_i} = 0
  2. Liniowe równanie transportu: u_t + \sum_{i=1}^n b_i u_{x_i} = 0
  3. Równanie przewodnictwa cieplnego (lub dyfuzji): u_t - \Delta u = 0\,
  4. Równanie Schrödingera: i u_t + \Delta u = 0\,
  5. Równanie falowe: u_{tt} - \Delta u = 0\,

Nieliniowe równanie różniczkowe cząstkowe[edytuj | edytuj kod]

  1. Nieliniowe równanie Poissona: -\Delta u = f(u)\,
  2. Równanie Hamiltona-Jacobiego: u_t + H(Du,x) = 0\,
  3. Skalarne równanie reakcji-dyfuzji: u_t - \Delta u = f(u)\,

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 2010.
  • D. Gilbarg, N.S. Trudinger: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1977, ISBN 3-540-08007-4.
  • Janus J., Myjak J.: Wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych, 2008.
  • T. Roubíček: Nonlinear Partial Differential Equations with Applications. Birkhäuser, Basel, 2nd Ed.: 2013, SBN: 978-3-0348-0512-4 (DOI: 10.1007/978-3-0348-0513-1).
  • Strzelecki P.: Krótkie Wprowadzenie do Równań Różniczkowych Cząstkowych, Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, Warszawa 2006.