Prawa Ficka

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Prawa Ficka – dwa prawa dotyczące zjawiska dyfuzji, których sformułowanie przypisuje się niemieckiemu fizykowi i matematykowi Adolfowi Fickowi (1829-1901). Są one współcześnie stosowane w modelowaniu procesów dyfuzji w tkankach, neuronach, biopolimerach, farmakologii, w domieszkowaniu półprzewodników i wielu innych zastosowaniach.

Pierwsze prawo Ficka[edytuj | edytuj kod]

Pierwsze prawo Ficka jest stosowane w opisie procesów dyfuzji, np. kiedy stężenie strumienia dyfuzji objętościowej nie zmienia się z czasem Jin = Jout.

W przestrzeni jednowymiarowej strumień dyfuzji wynosi:

J = - D \frac{\partial \phi}{\partial x}

gdzie:

J jest strumieniem składnika (ilość substancji przepływająca przez jednostkowy przekrój w jednostce czasu) [(ilość substancji) x długość−2 x czas-1], np.\bigg(\frac{\mathrm{mol}}{ m^2\cdot s}\bigg)
D jest współczynnikiem proporcjonalności dyfuzji w jednostce [długość2 x czas-1], np. \bigg(\frac{m^2}{s}\bigg)
Φ jest stężeniem [(ilość substancji) x długość-3], np. \bigg(\frac\mathrm{mol}{m^3}\bigg)
x jest odległością od źródła dyfundującej substancji [długość], np. m

Ilość substancji może być wyrażona za pomocą różnych wielkości fizycznych, np. masy, liczby moli cząsteczek lub liczby cząsteczek, jednak powinna być wyrażona za pomocą tej samej wielkości w wyrażeniach opisujących strumień i stężenie. Wtedy wymiar współczynnika dyfuzji jest taki sam, niezależnie od wyboru tej wielkości[1].

D (współczynnik dyfuzji) jest proporcjonalny do szybkości dyfundujących cząsteczek, zależy także od temperatury, specyficznej budowy ośrodka, lepkości substancji (w tym przypadku cząsteczki zachowują się zgodnie z prawem Stokesa-Einsteina). Współczynnik ten określa zdolność dyfundowania cząsteczek pod wpływem gradientu stężenia. Dla np. cząsteczek związków organicznych współczynnik dyfuzji mieści się w granicach: 10-11 do 10-10 \bigg(\frac{m^2}{s}\bigg).

W dwu lub większej ilości wymiarów należy użyć operatora nabla \nabla lub operatora gradientu, co prowadzi do wzoru:

J=- D\nabla \phi .

Drugie prawo Ficka[edytuj | edytuj kod]

Drugie prawo Ficka jest stosowane, gdy strumień dyfuzji zmienia się lokalnie w czasie:

\frac{\partial \phi}{\partial t} = D\,\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}\,\!

Gdzie:

D jest współczynnikiem proporcjonalności dyfuzji w jednostkach [długość2x czas−1], np. \bigg(\frac{m^2}{s}\bigg)
φ jest stężeniem [ilość substancji x długość-3], np. \bigg(\frac\mathrm{mol}{m^3}\bigg)
x jest odległością od źródła dyfundującej substancji [długość], np. m (metr)
t jest czasem [s]

Prawo to może zostać wyprowadzone z pierwszego prawa Ficka oraz prawa zachowania masy:

\frac{\partial \phi}{\partial t} =-\,\frac{\partial}{\partial x}\,J = \frac{\partial}{\partial x}\bigg(\,D\,\frac{\partial}{\partial x}\phi\,\bigg)\,\!

Zakładając że wartość współczynnika dyfuzyjności D jest stała (niezależna od stężenia) można otrzymać drugie prawo Ficka w postaci:

\frac{\partial}{\partial x}\bigg(\,D\,\frac{\partial}{\partial x} \phi\,\bigg) = D\,\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial x} \,\phi = D\,\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}

W przypadku dyfuzji w przestrzeni dwu lub więcej wymiarowej drugie prawo Ficka przyjmuje postać:

\frac{\partial \phi}{\partial t} = D\,\nabla^2\,\phi\,\!,

czyli sprowadza się do równania przewodnictwa cieplnego.

Jeśli wartość współczynnika dyfuzyjności D nie jest stała, ale zależy od położenia lub stężenia, drugie prawo Ficka przyjmuje postać:

\frac{\partial \phi}{\partial t} = \nabla \cdot (\,D\,\nabla\,\phi\,)\,\!

W przypadku, gdy stężenie φ nie zmienia się w czasie, wartość po lewej stronie powyższego równania przyjmuje 0. W przypadku jednowymiarowym przy stałym D, rozwiązanie będzie liniowa zmiana stężenia wzdłuż odległości x. W przypadku przestrzeni dwu- lub więcej wymiarowej prawo Ficka przybierze postać:

 \nabla^2\,\phi =0\!

a zatem jest to równanie różniczkowe Laplace'a. Rozwiązaniem tego równania są zawsze funkcje harmoniczne.

Zastosowanie[edytuj | edytuj kod]

Równania bazujące na prawach Ficka są szeroko stosowane w modelowaniu procesów dyfuzji, np. tkankach, neuronach, biopolimerach, farmakologii, w domieszkowaniu półprzewodników, itd. Duża liczba eksperymentów (szczególnie przy modelowaniu polimerów) dowodzi, że trzeba uwzględnić dodatkowe zjawiska, jak np. zeszklenie.

Prawa Ficka są też stosowane w modelach transportu masy Onsagera.

Zależność temperaturowa od współczynnika proporcjonalności dyfuzji[edytuj | edytuj kod]

Współczynnik proporcjonalności dyfuzji D często można przybliżyć:

D = D_{0}\cdot e^{-\frac{E_{A}}{R\cdot T}},

gdzie:

D jest współczynnikiem proporcjonalności dyfuzji w jednostkach [długość2 x czas-1], np. \bigg(\frac{m^2}{s}\bigg)
D0jest maksymalnym współczynnikiem proporcjonalności dyfuzji (w nieskończenie wysokiej temperaturze)
EA jest energią aktywacji dla dyfuzji w jednostce [ energia (ilość)-1]
T jest temperaturą (w skali Kelvina lub Rankine'a)
R jest stałą gazową w jednostkach [[[energia]] x temperatura-1 (ilość substancji)-1]

Równanie to nosi nazwę równania Arrheniusa

Współczynnik proporcjonalności dyfuzji D jest w przybliżeniu 10,000 razy większy w powietrzu niż w wodzie. Na przykład dwutlenek węgla (CO2) posiada współczynnik proporcjonalności dyfuzji D równy 16 mm²/s w powietrzu, w wodzie natomiast 0.0016 mm²/s[2].

Dyfuzja przez membranę[edytuj | edytuj kod]

Z pierwszego prawa Ficka wynika równanie:[3]:

\mathrm{D} = \frac{{K\cdot A\cdot (P_2 - P_1)}}{d} \,\!

Z równania tego wynika, że szybkość dyfuzji gazu przez membranę zależy od:

D – współczynnika dyfuzji,
K – eksperymentalnie wyznaczonej stałej dla danego gazu w określonej temperaturze,
A – współczynnika proporcjonalności do powierzchni na której zachodzi dyfuzja,
P2 – P1 – współczynników proporcjonalności do różnicy ciśnień cząstkowych gazu po obu stronach membrany oraz
  • d współczynników odwrotnej proporcjonalności do grubości membrany (drogi na której zachodzi dyfuzja).

Ilość wymiany gazu wzdłuż membrany w środowisku cieczy można określić łącząc powyższe równanie razem z prawami Grahama.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Krzysztof Pigoń, Zdzisław Ruziewicz: Chemia fizyczna. T. I: Podstawy fenomenologiczne. Warszawa: PWN, 2007, s. 437–438. ISBN 978-83-01-15054-9.
  2. http://www.cco.caltech.edu/~brokawc/Bi145/Diffusion.html.
  3. http://www.lib.mcg.edu/edu/eshuphysio/program/section3/3ch9/s3ch9_2.htm.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • A. Fick, Phil. Mag. (1855), 10, 30.
  • A. Fick, Poggendorff's Annel. Physik. (1855), 94, 59.
  • W.F. Smith, Foundations of Materials Science and Engineering 3rd ed., McGraw-Hill (2004)
  • H.C. Berg, Random Walks in Biology, Princeton (1977)
  • Jerzy Dereń, Chemia ciała stałego, PWN 1975

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]