Operacja Suslina

Operacja Suslina – operacja na rodzinie zbiorów indeksowanych elementami przestrzeni ${\mbox{Seq}},$ tzn. przestrzeni wszystkich skończonych ciągów liczb naturalnych, szeroko wykorzystywana w opisowej teorii mnogości i kombinatoryce nieskończonej. Operacja wprowadzona została przez rosyjskiego matematyka Pawła Aleksandrowa, jednak nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Michaiła Suslina, który również zajmował się tą tematyką.

Konstrukcja

Niech ${\mbox{Seq}}$ oznacza rodzinę wszystkich skończonych ciągów liczb naturalnych oraz niech $\{A_{s}\colon \,s\in {\mbox{Seq}}\}$ będzie dowolną rodzinę zbiorów indeksowaną elementami przestrzeni ${\mbox{Seq}}.$ Zbiór

${\mathcal {A}}\{A_{s}\colon \,s\in {\mbox{Seq}}\}:=\bigcup _{a\in \omega ^{\omega }}\bigcap _{n=0}^{\infty }A_{a\upharpoonright n}$

nazywa się zbiorem wynikowym operacji Suslina na rodzinie $\{A_{s}\colon \,s\in {\mbox{Seq}}\}.$ W powyższym wzorze symbol $\omega ^{\omega }$ oznacza przestrzeń Baire’a wszystkich nieskończonych ciągów liczb naturalnych. Dla $a=(a_{0},a_{1},a_{2},\dots )\in \omega ^{\omega }$ symbol $a\upharpoonright n$ oznacza ciąg $(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1}).$

Przykładowe zastosowanie

Używając pojęcia operacji Suslina, można udowodnić, że podzbiór przestrzeni polskiej jest zbiorem analitycznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem wynikowym operacji Suslina na pewnej rodzinie domkniętych podzbiorów przestrzeni.

Bibliografia

• Thomas Jech: Set theory. The Third Millennium Edition, revised and expanded. Berlin: Springer-Verlag, 2002, s. 143–144. ISBN 3-540-44085-2.