Paproć Barnsleya

Paproć Barnsley'a

Paproć Barnsley'a

Przekształcenia IFS

Paproć Barnsleya (paprotka Barnsleya, fraktal liść paproci) - fraktal znany ze względu na uderzające podobieństwo do liści paproci występujących w naturze, spopularyzowany przez Michaela F. Barnsleya. Jest to przykład złożonego obiektu, który może być opisany za pomocą zaledwie czterech przekształceń afinicznych (zob. Barnsley (1993), str. 86) jako atraktor następującego systemu funkcji zwężających (IFS - system funkcji iterowanych):

f₁(x,y) = (0.85x + 0.04y, − 0.04x + 0.85y + 1.6)

f₂(x,y) = ( − 0.15x + 0.28y,0.26x + 0.24y + 0.44)

f₃(x,y) = (0.20x − 0.26y,0.23x + 0.22y + 1.6)

f₄(x,y) = (0,0.16y).

Aby wygenerować fraktal, należy użyć powyższych przekształceń w sposób losowy w następujących proporcjach: 85:7:7:1.

Algorytm

Algorytm generowania tego fraktala polega na procesie iteracji (wielokrotnego przekształcania) współrzędnych rysowanego punktu. Początkowo losowo wybieramy współrzędne punktu, a następnie również losowo wybieramy jedno z przekształceń afinicznych z odpowiednim prawdopodobieństwem. Po obliczeniu nowych współrzędnych punktu, proces powtarzamy określoną ilość razy.

Przykładowy program

Animacja przedstawiająca paproć Barnsley'a dla różnej liczby powtórzeń algorytmu IFS.

Program napisany w Matlabie generujący paproć widoczną na animacji obok:

for max_step=[1000 10000 50000  100000  500000];
    x=zeros(1,max_step);
    y=zeros(1,max_step);
    for n=1:max_step
        r=rand();
        if r<=0.01
            x(n+1)=0;
            y(n+1)=0.16*y(n);
        elseif r<=0.08
            x(n+1)=0.2*x(n)-0.26*y(n);
            y(n+1)=0.23*x(n)+0.22*y(n)+1.6;
        elseif r<=0.15
            x(n+1)=-0.15*x(n)+0.28*y(n);
            y(n+1)=0.26*x(n)+0.24*y(n)+0.44;
        else
            x(n+1)=0.85*x(n)+0.04*y(n);
            y(n+1)=-0.04*x(n)+ 0.85*y(n)+1.6;
        end
    end
    plot(x,y,'.','Color','g','MarkerSize',1)
    title(['N = ' num2str(max_step)])
    drawnow
    pause(0.5)
end

Literatura

• Barnsley, Michael F., and Hawley Rising. Fractals Everywhere. Boston: Academic Press Professional, 1993. ISBN 0-12-079061-0

Linki zewnętrzne

• Paproć Barnsleya (ang.) w encyklopedii MathWorld

Zobacz też

• fraktal
• grafika fraktalna
• przekształcenie afiniczne
• odwzorowanie Hutchinsona
• odwzorowania zwężające