Fraktal

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Fraktal

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy, ułamkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu). Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który posiada wszystkie poniższe charakterystyki albo przynajmniej ich większość[1]:

  • ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
  • struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej geometrii euklidesowej,
  • jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to przybliżonym lub stochastycznym,
  • jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar topologiczny,
  • ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
  • ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Na przykład linia prosta na płaszczyźnie jest formalnie samo-podobna, ale brak jej pozostałych cech i zwyczajowo nie uważa się jej za fraktal. Z drugiej strony, zbiór Mandelbrota ma wymiar Hausdorffa równy 2, taki sam jak jego wymiar topologiczny. Jednak pozostałe cechy wskazują, że jest to fraktal. Wiele fraktali ma niecałkowity wymiar Hausdorffa, co wyjaśnia etymologię nazwy.

Historia[edytuj | edytuj kod]

Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki przez francuskiego informatyka i matematyka polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa, postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary, mająca swoje początki w pracach Constantina Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Szczególnymi fraktalami – nie nazywając ich po imieniu – zajmowali się Georg Cantor, Giuseppe Peano, Wacław Sierpiński, Paul Lévy, a także Donald Knuth. Szczególny wkład w rozwój geometrycznej teorii miary wniósł Abraham Bezikowicz, który skonstruował również wiele konkretnych fraktali o paradoksalnych własnościach. Również zbiór Julii, ściśle związany ze zbiorem Mandelbrota, był badany w latach 20. zeszłego wieku. Mandelbrot używając komputera do wizualizacji uczynił z fraktali przedmiot intensywnych badań. O ważności tego zagadnienia zadecydowały zastosowania w różnych dziedzinach, zwłaszcza poza matematyką, np. obecnie prawie każdy telefon komórkowy korzysta z wbudowanej anteny fraktalnej. Liczne odpowiedniki fraktali istnieją też w naturze.

Właściwości[edytuj | edytuj kod]

Za jedną z cech charakterystycznych fraktala uważa się samopodobieństwo, to znaczy podobieństwo fraktala do jego części. Co więcej, zbiory fraktalne mogą być samoafiniczne, tj. część zbioru może być obrazem całości przez pewne przekształcenie afiniczne. Dla figur samopodobnych można określić wielkość zwaną wymiarem samopodobieństwa lub wymiarem pudełkowym. Są to wielkości będące uogólnieniem klasycznych definicji wymiaru.

Wiadomo, że stosunek pól płaskich (wymiaru 2) figur podobnych równa się kwadratowi skali ich podobieństwa. Na przykład figura podobna do innej w skali 3 ma dziewięć razy większe pole od tamtej (9 = 3² albo 2 = log39). W przestrzeni stosunek objętości brył (trójwymiarowych) podobnych jest sześcianem skali ich podobieństwa; bryła podobna do innej w skali 2 ma osiem razy większą objętość od tamtej (8 = 2³ albo 3 = log28). Wymiar samopodobieństwa figury daje się zatem określić jako logarytm o podstawie równej skali podobieństwa i liczbie logarytmowej wskazującej, ile razy większa od figury wyjściowej (jaką częścią figury wyjściowej) jest figura podobna do niej w tej skali. Dla fraktali liczba ta może nie być całkowita.

Na przykład zbiór Cantora jest podobny do swoich dwu części w skali 3; wymiar Hausdorffa zbioru Cantora wynosi d = log 2/log 3=0,630929754... Analogicznie trójkąt Sierpińskiego jest podobny do swoich trzech części w skali 2, a jego wymiar Hausdorffa jest równy d = log 3/log 2 =1,584962501... Dywan Sierpińskiego jest podobny do swoich ośmiu części w skali 3, zatem jego wymiar Hausdorffa to d = log 8/log 3 =1,892789261...

Ogólniej, jeżeli fraktal składa się z N części, które łączą się między sobą na obszarze miary Lebesgue'a zero i są podobne w skali r do całego fraktala, to wymiar Hausdorffa fraktala będzie równy log N/log r. Jeszcze ogólniej, jeśli założymy, że każda część jest podobna do całości w innej skali  r_i, i=1,2,...,N, to wymiar Hausdorffa jest rozwiązaniem poniższego równania z niewiadomą s

 \sum_{i=1}^N r_i^s = 1.

Niektóre fraktale są zbiorami o mierze Lebesgue'a równej zero. Dotyczy to fraktali klasycznych, np. trójkąt Sierpińskiego i zbiór Cantora mają miarę Lebesgue'a równą zero. Ogólnie każdy fraktal, dla którego wymiar Hausdorffa jest ostro większy od wymiaru topologicznego, będzie mieć tę własność. Z kolei zbiór Mandelbrota i niektóre zbiory Julii mają dodatnie miary Lebesgue'a (na przykład miara Lebesgue'a zbioru Mandelbrota wynosi ok. 1,5).

Generowanie fraktali[edytuj | edytuj kod]

Atraktory IFS[edytuj | edytuj kod]

Najprostszą metodą tworzenia fraktali jest wykorzystanie zbioru przekształceń afinicznych \left \{  \mathbf{F}_i \right \}_{i=1}^{n} będących przekształceniami zwężającymi (kontrakcjami). Transformując dowolny, niepusty zbiór \, S \, zgodnie z regułą (tworząc ciąg zbiorów):

\, S_0 = S \,
\, S_k = \bigcup^{n}_{i=1}\mathbf{F}_{i}(S_{k-1}) \,

W granicy otrzymujemy:

\, S_\infty = \lim_{k \to \infty} S_k \,,

atraktor układu, który w szczególności może być fraktalem. Zbiór \, \left \{  \mathbf{F}_{i} \right \}_{i=1}^{n} \, nazywamy w tym przypadku systemem przekształceń iterowanych (IFS), zaś otrzymany w powyższej granicy fraktal jest atraktorem tego systemu. Jego istnienie wynika z twierdzenia Banacha o punkcie stałym odwzorowania zwężającego. W ten sposób można wygenerować m.in. następujące fraktale: zbiór Cantora, krzywa Kocha, smok Heighwaya, trójkąt Sierpińskiego, kostka Mengera, paproć Barnsleya.

W praktyce aby wygenerować fraktal wybieramy dowolny punkt x i transformujemy go kilka razy za każdym razem losując odpowiednio przekształcenie \, F_i \,:

 x_0=x;\; x_{n+1}=F_i(x_n).

Procedurę tę powtarzamy np. kilka tysięcy razy. W szczególnych przypadkach dla efektu wizualnego może być istotny sposób losowania przekształceń. Np. dla paproci Barnsleya przekształcenia  F_i, i=1..4 (zob. definicję) losuje się z częstościami 85%, 7%, 7%, 1% odpowiednio.

Zbiory Julii i Mandelbrota[edytuj | edytuj kod]

Zbiory takie jak zbiór Mandelbrota, zbiór Julii czy "płonący statek" są podzbiorami płaszczyzny zespolonej. Dla każdego punktu p określa się pewien ciąg zn(p). Od zbieżności tego ciągu zależy, czy punkt należy do zbioru (fraktala). Ciąg określa się wzorem rekurencyjnym:

\, z_0(p) = f(p) \,
\, z_{n+1}(p) = g(z_{n}) \,

Od postaci funkcji f i g zależy rodzaj fraktala.

Za punkty należące do danego zbioru uznaje się te, dla których:

\lim_{n \to \infty}z_{n} \not = \infty

Przykłady

W praktyce liczenie ogranicza się do kilkudziesięciu iteracji lub do momentu, gdy  |z_n|>2. Uzyskiwane kolory w obrazach fraktali (zwłaszcza zbiorów Julii) realizuje się np. zliczając, jak szybko poszczególne punkty rozbiegają się do nieskończoności i przydzielając im w zależności od tego różne barwy.

W przyrodzie[edytuj | edytuj kod]

Struktury o budowie fraktalnej są powszechnie spotykane w przyrodzie. Przykładem mogą być krystaliczne dendryty (np. płatki śniegu), system naczyń krwionośnych, systemy wodne rzek, błyskawica lub kwiat kalafiora.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

"Klasycznymi fraktalami", badanymi (czasem długo) przed powstaniem samego pojęcia fraktal, są m.in.:

Inne ważne przykłady:

Fraktale w matematyce[edytuj | edytuj kod]

Fraktale w grafice komputerowej[edytuj | edytuj kod]

Istnieje wiele programów przeznaczonych do tworzenia obrazów fraktalnych, np. Fractint, Ultra Fractal, XenoDream, Tierazon, FractalExplorer, Apophysis, Sterling, QuaSZ, XaoS, Gimp.

Fraktalopodobne obiekty w świecie rzeczywistym[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Commons in image icon.svg
Zobacz hasło fraktal w Wikisłowniku

Przypisy

  1. Falconer, Kenneth. Techniques in Fractal Geometry. John Willey and Sons, 1997. ISBN 0-471-92287-0

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Barnsley, Michael F., and Hawley Rising. Fractals Everywhere. Boston: Academic Press Professional, 1993. ISBN 0-12-079061-0
  • Falconer, Kenneth. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. West Sussex: John Wiley & Sons, Ltd., 2003. ISBN 0-470-84861-8
  • Kudrewicz, Jacek. Fraktale i chaos. WNT. ISBN 83-204-1927-1
  • Mandelbrot, Benoît B. The Fractal Geometry of Nature. New York: W. H. Freeman and Co., 1982. ISBN 0-7167-1186-9

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]