Równanie przewodnictwa cieplnego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Przykład numerycznie wyznaczonej zmiany temperatury w dwuwymiarowym ciele. Wysokość oraz kolor przedstawiają temperaturę.
Numerycznie wyznaczona zmiana temperatury ciała.

Równanie przewodnictwa cieplnegorównanie różniczkowe cząstkowe, opisujące przepływ ciepła przy zadanym jego początkowym rozkładzie w ośrodku oraz przy określonych warunkach brzegowych. Równanie ma postać:


\begin{cases}
\frac{\partial}{\partial t}u - \triangle_{x}u = 0, & x \in \mathbb{R}^n, t \in \mathbb{R}_{+} \\
u(x,0) = g(x)                  , & g:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}
\end{cases}

gdzie g(x) to początkowy rozkład ciepła. A u(x,t) to szukana zależność rozkładu od czasu t.

Rozwiązanie równania przewodnictwa[edytuj | edytuj kod]

Poszukujemy rozwiązań w klasie regularności u \in C^2(\mathbb{R}^n \times [0, +\infty)) \cap C^0(\mathbb{R}^n \times (0, +\infty)) .

Rozwiązaniem podstawowym równania przewodnictwa cieplnego jest:


E(x,t) = (4\pi t)^{-n/2} \exp\left(\frac{-|x|^2}{4t}\right)

Można sprawdzić, że spełnia ono:

  • \int\limits_{\mathbb{R}^n}{E(x,t)dx} = 1
  • E_t - \triangle_x E = 0

Jeśli funkcja g jest ciągła i ograniczona to funkcja


u(x,t) = \begin{cases}
\int\limits_{\mathbb{R}^n}{g(y)E(x-y,t)dy},& t>0 \\
g(x),                               & t=0
\end{cases}

jest rozwiązaniem równania przewodnictwa cieplnego, jest ograniczone i jest dodatkowo klasy C^{\infty}(\mathbb{R}^n \times (0, +\infty)) \cap C^0(\mathbb{R}^n \times [0, +\infty)). Używając pojęcia splotu można napisać:

u(x, t) = g(\cdot) * E(x-\cdot, t)

Nieskończenie szybkie rozchodzenie się ciepła[edytuj | edytuj kod]

Przypuśćmy, że g ma zwarty nośnik i na pewnej kuli B jest  g > 0. Wówczas


u(x,t) = \int\limits_{\mathbb{R}^n}{g(y)E(x-y,t)} \ge 0

dla każdego x\in\mathbb{R}^n, t > 0. Zatem ciepło dochodzi w dowolnie małym czasie do każego punktu przestrzeni, czyli rozchodzi się nieskończenie szybko. Tak oczywiście w rzeczywistości nie jest, dlatego też czasami używa się zaburzonego równania przewodnictwa cieplnego. Do równania wprowadza się wtedy parametr τ będący czasem relaksacji, na podstawie którego można wyznaczyć prędkość propagacji fali cieplnej[1]:

v = \sqrt{D \over \tau}

gdzie D to dyfuzyjność cieplna.

Wartość τ jest bardzo mała i wynosi np. 10^{-11}s dla aluminium, 10^{-6}s dla ciekłego helu. W przypadku ciekłego helu współczynnik dyfuzji wynosi 10m^2/s, stąd prędkość propagacji 3162m/s, dlatego w praktyce obliczeniowej przyjmuje się czas relaksacji \tau = 0s i co za tym idzie nieskończoną prędkość propagacji.

Zasada maksimum dla równania przewodnictwa ciepła[edytuj | edytuj kod]

Niech T>0 ustalony czas, oraz u(x,t) ograniczona funkcja, będąca rozwiązaniem równania przewodnictwa cieplnego. Oznaczmy \Omega=\mathbb{R}^n \times [0, T] oraz \Omega_0 = \mathbb{R}^n \times {0}. Wówczas

  • \sup_{\Omega}{u(x,t)} = \sup_{\Omega_0}{u(x, 0)}
  • \inf_{\Omega}{u(x,t)} = \inf_{\Omega_0}{u(x, 0)}

Zasadę maksimum można interpretować fizycznie następująco: w momencie t=0 przyjmowana jest największa i najmniejsza wartość temperatury, potem temperatura będzie się stabilizować i "uśredniać", zachowuje się zatem zgodnie z codziennym doświadczeniem.

Wyprowadzenie równania przewodnictwa[edytuj | edytuj kod]

Interpretujemy funkcję u(x, t) jako temperaturę w punkcie przestrzeni x w momencie t. Zakładamy, że ciepło J(x, t) ucieka z najcieplejszego do najzimniejszego miejsca, tj. w kierunku przeciwnym do gradientu temperatury.

J(x, t) = -k \cdot \triangledown_x{u}

Ponadto zakładamy, że każdy obszar V ogrzewa się proporcojnalnie do ilości ciepła, która do niego wpłynęła:

\int\limits_{V}{\frac{\partial u}{\partial t}} = - \int\limits_{\partial V}{J \circ n}

A z twierdzenie Gaussa:

\int\limits_{V}\operatorname{div} J=\int\limits_{\partial V}{J \circ n},

gdzie J \circ n = \frac{\partial J}{\partial n} oznacza pochodną normalną funkcji. Zatem dostajemy:

\int\limits_{V} \left(\frac{\partial u}{\partial t} + \operatorname{div}{J}\right) dx = 0

Z dowolności V mamy:

\frac{\partial u}{\partial t} + \operatorname{div} J = 0,

czyli:

\frac{\partial u}{\partial t} - k \triangle_x{u} = 0.

Poprawność zagadnienia[edytuj | edytuj kod]

W ogólności, tzn. dla dowolnie wybranej funkcji g, zagadnienie nie jest dobrze postawione, gdyż rozwiązania nie są jednoznaczne. Jeden z przykładów został podany przez Tichonowa.

W klasie ograniczonych rozwiązań równania, tj. u \in C^2(\mathbb{R}^n \times (0, +\infty)) \cap C^0(\mathbb{R}^n \times (0, +\infty) \cap L^{\infty}(\mathbb{R}^n \times [0, +\infty)) zagadnienie ma jednoznaczne rozwiązanie i jest dobrze postawione.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Jan Taler: Solving direct and inverse heat conduction problems. Berlin: Springer, 2006, s. 17. ISBN 978-3-540-33470-5.