Równanie przewodnictwa cieplnego

Równanie przewodnictwa cieplnego – równanie różniczkowe cząstkowe, opisujące przepływ ciepła przy zadanym jego początkowym rozkładzie w ośrodku oraz przy określonych warunkach brzegowych. Równanie ma postać:

$\begin{cases} \frac{\partial}{\partial t}u - \triangle_{x}u = 0, & x \in \mathbb{R}^n, t \in \mathbb{R}_{+} \\ u(x,0) = g(x) , & g:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \end{cases}$

gdzie $g(x)$ to początkowy rozkład ciepła. A $u(x,t)$ to szukana zależność rozkładu od czasu $t$.

Rozwiązanie równania przewodnictwa

Poszukujemy rozwiązań w klasie regularności $u \in C^2(\mathbb{R}^n \times [0, +\infty)) \cap C^0(\mathbb{R}^n \times (0, +\infty))$.

Rozwiązaniem podstawowym równania przewodnictwa cieplnego jest:

$E(x,t) = (4\pi t)^{-n/2} \exp(\frac{-|x|^2}{4t})$

Można sprawdzić, że spełnia ono:

• $\int\limits_{\mathbb{R}^n}{E(x,t)dx} = 1$
• $E_t - \triangle_x E = 0$

Jeśli funkcja $g$ jest ciągła i ograniczona to funkcja

$u(x,t) = \begin{cases} \int\limits_{\mathbb{R}^n}{g(y)E(x-y,t)dy},& t>0 \\ g(x), & t=0 \end{cases}$

jest rozwiązaniem równania przewodnictwa cieplnego, jest ograniczone i jest dodatkowo klasy $C^{\infty}(\mathbb{R}^n \times (0, +\infty)) \cap C^0(\mathbb{R}^n \times [0, +\infty))$. Używając pojęcia splotu można napisać:

$u(x, t) = g(\cdot) * E(x-\cdot, t)$

Nieskończenie szybkie rozchodzenie się ciepła

Przypuśćmy, że $g$ ma zwarty nośnik i na pewnej kuli B jest $g > 0$. Wówczas

$u(x,t) = \int\limits_{\mathbb{R}^n}{g(y)E(x-y,t)} \ge 0$

dla każdego $x\in\mathbb{R}^n, t > 0$. Zatem ciepło dochodzi w dowolnie małym czasie do każego punktu przestrzeni, czyli rozchodzi się nieskończenie szybko. Tak oczywiście w rzeczywistości nie jest, dlatego też czasami używa się zaburzonego równania przewodnictwa cieplnego. Do równania wprowadza się wtedy parametr τ będący czasem relaksacji, na podstawie którego można wyznaczyć prędkość propagacji fali cieplnej:

$v = \sqrt{D \over \tau}$

gdzie $D$ to dyfuzyjność cieplna.

Wartość τ jest bardzo mała i wynosi np. $10^{-11}s$ dla aluminium, $10^{-6}s$ dla ciekłego helu. W przypadku ciekłego helu współczynnik dyfuzji wynosi $10m^2/s$, stąd prędkość propagacji $3162m/s$, dlatego w praktyce obliczeniowej przyjmuje się czas relaksacji $\tau = 0s$ i co za tym idzie nieskończoną prędkość propagacji.

Zasada maksimum dla równania przewodnictwa ciepła

Niech $T>0$ ustalony czas, oraz $u(x,t)$ ograniczona funkcja, będąca rozwiązaniem równania przewodnictwa cieplnego. Oznaczmy $\Omega=\mathbb{R}^n \times [0, T]$ oraz $\Omega_0 = \mathbb{R}^n \times {0}$. Wówczas

• $\sup_{\Omega}{u(x,t)} = \sup_{\Omega_0}{u(x, 0)}$
• $\inf_{\Omega}{u(x,t)} = \inf_{\Omega_0}{u(x, 0)}$

Zasadę maksimum można interpretować fizycznie następująco: w momencie $t=0$ przyjmowana jest największa i najmniejsza wartość temperatury, potem temperatura będzie się stabilizować i "uśredniać", zachowuje się zatem zgodnie z codziennym doświadczeniem.

Wyprowadzenie równania przewodnictwa

Interpretujemy funkcję $u(x, t)$ jako temperaturę w punkcie przestrzeni x w momencie t. Zakładamy, że ciepło $J(x, t)$ ucieka z najcieplejszego do najzimniejszego miejsca, tj. w kierunku przeciwnym do gradientu temperatury.

$J(x, t) = -k \cdot \triangledown_x{u}$

Ponadto zakładamy, że każdy obszar V ogrzewa się proporcojnalnie do ilości ciepła, która do niego wpłynęła:

$\int\limits_{V}{\frac{\partial u}{\partial t}} = - \int\limits_{\partial V}{J \circ n}$

A z twierdzenie Gaussa:

$\int\limits_{V}\operatorname{div} J=\int\limits_{\partial V}{J \circ n},$

gdzie $J \circ n = \frac{\partial J}{\partial n}$ oznacza pochodną normalną funkcji. Zatem dostajemy:

$\int\limits_{V}{(\frac{\partial u}{\partial t} + div{J})dx} = 0$

Z dowolności $V$ mamy:

$\frac{\partial u}{\partial t} + div J = 0,$

czyli:

$\frac{\partial u}{\partial t} - k \triangle_x{u} = 0.$

Poprawność zagadnienia

W ogólności, tzn. dla dowolnie wybranej funkcji $g$, zagadnienie nie jest dobrze postawione, gdyż rozwiązania nie są jednoznaczne. Jeden z przykładów został podany przez Tichonowa.

W klasie ograniczonych rozwiązań równania, tj. $u \in C^2(\mathbb{R}^n \times (0, +\infty)) \cap C^0(\mathbb{R}^n \times (0, +\infty) \cap L^{\infty}(\mathbb{R}^n \times [0, +\infty))$ zagadnienie ma jednoznaczne rozwiązanie i jest dobrze postawione.

Zobacz też

• Ciepło
• Przewodność cieplna
• Przewodzenie ciepła