Równanie różniczkowe Laplace’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równanie różniczkowe Laplace’a to równanie różniczkowe cząstkowe liniowe drugiego rzędu postaci:

\triangle u(x) = 0,

gdzie funkcja u : \mathcal{U}\subseteq\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n jest klasy C^2(\mathcal{U}). Znak \triangle oznacza operator Laplace’a. Dla n=3, w kartezjańskim układzie współrzędnych, równanie ma więc postać:

\frac{\partial^2}{\partial x^2}u(x,y,z)+\frac{\partial^2}{\partial y^2}u(x,y,z)+\frac{\partial^2}{\partial z^2}u(x,y,z)=0.

Alternatywne zapisy równania to:

\operatorname{div}\,\operatorname{grad}\, u = 0,

czyli laplasjan jako dywergencja gradientu, a także:

\nabla^2 u=0, gdzie \nabla to operator nabla.

Nazwa równania pochodzi od nazwiska Pierre Simon de Laplace’a, który sformułował je w XVIII wieku.

Interpretacja fizyczna[edytuj | edytuj kod]

Równanie to wyraża następującą własność pola potencjalnego: dywergencja (rozbieżność) wektorowego pola potencjalnego (czyli gradientu potencjału), pod nieobecność źródła jest równa zeru. Opisuje ono zatem wiele procesów zachodzących w przyrodzie, np. potencjał grawitacyjny poza punktami źródeł pola (czyli bez punktów materialnych), potencjał prędkości cieczy przy braku źródeł. Równanie Laplace’a jest szczególnym przypadkiem równania Poissona, wyrażającego analogiczny związek w przypadku istnienia źródeł pola.

Równanie Laplace’a występuje m.in.[1]:

  • w elektrostatyce – potencjał elektrostatyczny V pod nieobecność ładunku elektrycznego spełnia równanie Laplace’a,
  • w termodynamice – opisuje przepływ statyczny ciepła,
  • w mechanice płynów – opisuje przepływ bezwirowy cieczy,
  • w elektrodynamice – opisuje przepływ prądu w ośrodkach rozciągłych,
  • w mechanice – opisuje odkształcenia membran sprężystych.

Interpretacja matematyczna[edytuj | edytuj kod]

Równanie Laplace’a jest równaniem eliptycznym. Funkcję spełniającą równanie różniczkowe Laplace’a nazywamy funkcją harmoniczną.

Rozwiązania[edytuj | edytuj kod]

Wzór Poissona dla półprzestrzeni[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej g: \mathbb{R}^{n-1} \rightarrow \mathbb{R} rozwiązaniem równania Laplace’a w półprzestrzeni \mathbb{R}^{n}_{+}=\{ x=(x_1, \ldots, x_n): x_n>0 \} spełniającym na brzegu \partial \mathbb{R}^{n}_{+} = \{x=(x_1, \ldots, x_n): x_n=0 \} dla y\in\mathbb{R}^{n-1} warunek u(y,0) = g(y) jest:

u(x)=\frac{2 x_n}{n \alpha (n)} \int_{\partial \mathbb{R}^{n}_{+}} \frac{g(y)}{|x-(y,0)|^n} dy,

gdzie \alpha(n) jest objętością n-wymiarowej kuli jednostkowej.

Wzór Poissona dla kuli[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej g: \mathbb{S}^{n-1}(0,r) \rightarrow \mathbb{R} rozwiązaniem równania Laplace’a w (hiper-)kuli K^{n}(0,r) spełniającym na (hiper-)sferze \partial K^{n}(0,r) = S^{n-1}(0,r) warunek u(y) = g(y) jest:

u(x)=\frac{r^2 - |x|^2}{n \alpha (n) r} \int_{S^{n-1}(0,r)} \frac{g(y)}{|x-y|^n} dS(y),

gdzie \alpha(n) jest objętością n-wymiarowej kuli jednostkowej.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands: Feynmana wykłady z fizyki. Wyd. III. T. II. Cz. 1. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1974, s. 121.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]