Funkcja harmoniczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja harmonicznafunkcja rzeczywista f: \mathbb R^n \to \mathbb R, której wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu są ciągłe w każdym punkcie spełniająca równanie różniczkowe Laplace'a:

\Delta f \equiv 0,

gdzie \Delta jest operatorem Laplace'a.

Poniżej piszemy A\Subset\Omega, gdy \overline{A}\subseteq\Omega oraz oznaczamy B^n(x,r)\subseteq\mathbb{R}^n kulę środku x i promieniu r, a S^{n-1}(x,r)\subseteq\mathbb{R}^n sferę o środku x i promieniu r. Miarę zbioru \mathcal{A} oznaczamy przez |\mathcal{A}|.

Funkcje sub- i superharmoniczne[edytuj | edytuj kod]

Funkcję u nazywamy subharmoniczną, gdy \Delta u \ge 0 oraz superharmoniczną, gdy \Delta u \le 0.

Własność wartości średniej[edytuj | edytuj kod]

Niech u\in C^2(\Omega), x\in \Omega, r>0, B(x,r) \Subset \Omega oraz u harmoniczna w \Omega. Wówczas:

u(x) = \frac{1}{|S^{n-1}(x,r)|}\int_{S^{n-1}(x,r)}{u(z)d\sigma(z)}
u(x) = \frac{1}{|B^{n-1}(x,r)|}\int_{B^{n-1}(x,r)}{u(z)dz}

Zatem w każdym punkcie wartość funkcji jest równa średniej wartości po sferze (lub kuli) o środku w tym punkcie i dowolnym promieniu, takim że sfera (kula) leży całkowicie w obszarze harmoniczności funkcji.

Dla funkcji sub- i superharmonicznych istnieją analogiczne własności wartości średniej. Dla funkcji subharmonicznych:

u(x) \le \frac{1}{|S^{n-1}(x,r)|}\int_{S^{n-1}(x,r)}{u(z)d\sigma(z)}
u(x) \le \frac{1}{|B^{n-1}(x,r)|}\int_{B^{n-1}(x,r)}{u(z)dz}

Zasada maksimum dla funkcji subharmonicznych[edytuj | edytuj kod]

Niech \Omega\subseteq\mathbb{R}^n będzie otwarty, ograniczony i spójny, u\in C^2(\Omega) oraz u subharmoniczna w \Omega. Przypuśćmy, że funkcja u przyjmuje supremum w punkcie x_0\in\Omega, tj. \sup_{x\in\Omega}{u(x)}=u(x_0)=M. Wówczas u(x)\equiv M dla każdego u\in\Omega.

Zatem funkcja subharmoniczna musi przyjmować maksima na brzegu \Omega. Analogiczna zasada, lecz z przeciwnym znakiem, istnieje dla funkcji superharmonicznych - nie mogą one przyjmować infimum wewnątrz obszaru \Omega.

Alternatywna definicja funkcji subharmonicznej[edytuj | edytuj kod]

Funkcję u:\mathcal{U}\to\mathbb{R} nazywamy subharmoniczną gdy dla każdej kuli B\Subset\mathcal{U} i każdej funkcji harmonicznej h:B\to\mathbb{R} ciągłej na \overline{B} i takiej, że u\vert{}_{\partial B} \le h\vert_{\partial B} spełnione jest u \le h na całej kuli B.

Zauważmy, że ta definicja nie używa pojęcia pochodnej. Można jednak pokazać, że dla funkcji klasy C^2 obie definicje są równoważne.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Rozpatrzmy tzw. rozwiązanie podstawowe laplasjanu:


\Gamma(x-y)=\begin{cases}
\frac{1}{(2-n)|S^{n-1}(0,1)|} |x-y|^{2-n}    & n>2 \\
\frac{1}{2\pi}{\log{|x-y|}}                    & n=2
\end{cases}

gdzie n oznacza wymiar przestrzeni. Dla x\ne{}y mamy \Delta \Gamma(x-y) = 0.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]