Proces stochastyczny progresywnie mierzalny

Progresywna mierzalność – własność procesu stochastycznego, która jest silniejsza od adaptowania procesu do danej filtracji.

Definicja

Niech

• $(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathsf {P}})$ będzie przestrzenią probabilistyczną;
• $(U,{\mathcal {A}})$ będzie przestrzenią mierzalną;
• $X\colon T\times \Omega \to U$ będzie procesem stochastycznym (gdzie $T=[0,\infty ),[0,t_{0}],\mathbb {N} _{0}$ itp.);
• $\{{\mathcal {F}}_{t}\colon t\in T\}$ będzie ustaloną filtracją (tj. niemalejącą rodziną pod-σ-algebr σ-algebry ${\mathcal {F}}$);
• ${\mathcal {B}}([0,t])$ oznacza algebrę zbiorów borelowskich na $[0,t]\cap T.$

Proces $X$ nazywany jest progresywnie mierzalnym względem filtracji $({\mathcal {F}}_{t}),$ gdy dla każdego $t\in T$ odwzorowanie

$[0,t]\cap T\times \Omega \to U$

określone wzorem

$(s,\omega )\mapsto X_{s}(\omega )$

jest mierzalne względem σ-algebry produktowej ${\mathcal {B}}([0,t])\otimes {\mathcal {F}}_{t}$.

W szczególności, proces $X$ jest adaptowany do filtracji ${\mathcal {F}}_{t}.$

Zbiory progresywnie mierzalne

Podzbiór $P\subseteq T\times \Omega$ jest progresywnie mierzalny, gdy proces

$X_{s}(\omega ):=\mathbf {1} _{P}(s,\omega )$

jest progresywnie mierzalny (zob. funkcja charakterystyczna zbioru). Zbiór progresywnie mierzalnych podzbiorów $T\times \Omega$ tworzy σ-algebrę.

Własności

• Niech $B=(B_{t})_{t\geqslant 0}$ będzie ruchem Browna. Przestrzeń tych procesów stochastycznych $X\colon [0,t_{0})\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n},$ dla których całka Itō

$\int \limits _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} B_{t}$

względem $B$ jest zdefiniowana, jest tożsama z rodziną (klas abstrakcji) procesów stochastycznych należących do przestrzeni Lebesgue’a $L^{2}([0,t_{0}]\times \Omega ;\mathbb {R} ^{n}).$

Bibliografia

• Andrea Pascucci, PDE and Martingale Methods in Option Pricing. Springer, Berlin 2011.