Zbiór borelowski

Zbiór borelowski – podzbiór przestrzeni topologicznej, który można uzyskać za pomocą przeliczalnych sum i przekrojów zbiorów domkniętych (bądź zwartych) tej przestrzeni. Klasa zbiorów uzyskanych za pomocą tych operacji tworzy σ-ciało nazywane σ-ciałem zbiorów borelowskich lub σ-ciałem borelowskim danej przestrzeni topologicznej. Nazwa została wprowadzona dla uhonorowania prac francuskiego matematyka Émile Borela, który pierwszy badał te zbiory i ich zastosowania.

Intuicyjnie rodzina zbiorów borelowskich zawiera "bardzo porządne" podzbiory przestrzeni topologicznej: "najporządniejszymi" można nazwać zbiory otwarte, domknięte bądź zwarte. Za "porządne" można również uznać operacje sum i przekrojów: są one tak naturalne i często spotykane, że warto rozważać taką klasę podzbiorów zawierającą "najporządniejsze" zbiory, z której działania te nie wyprowadzają nawet przy przeliczalnej liczbie operandów (dobrym przykładem jest zbiór liczb wymiernych na prostej rzeczywistej uzyskany jako np. przeliczalna suma przeliczalnego iloczynu zbiorów otwartych). Taką właśnie klasą jest rodzina zbiorów borelowskich.

Definicje

Niech $(X, \tau)$ będzie przestrzenią topologiczną. Zwykle zbiór borelowski definiuje się jako element należący do najmniejszego σ-ciała przestrzeni $X$, które zawiera wszystkie (σ-ciała generowanego przez)

1. podzbiory otwarte $X$ (tzn. zawierającego rodzinę $\tau$), równoważną definicję uzyskuje się żądając podzbiorów domkniętych;
2. podzbiory zwarte $X$.

W ogólnym przypadku definicje 1. i 2. nie są równoważne: można podać przykłady przestrzeni topologicznych, w których odpowiednie σ-ciała zbiorów są różne (na przykład przestrzeń Baire'a $\mathbb N^{\mathbb N}$ albo zbiór liczb niewymiernych $\mathbb R \setminus {\mathbb Q}$). Definicje te pokrywają się jednak np. w lokalnie zwartych przestrzeniach Lindelöfa, gdzie zbiory domknięte są przeliczalnymi sumami zbiorów zwartych, skąd σ-ciało generowane przez zbiory otwarte jest równe σ-ciału generowanemu przez zbiory zwarte. W szczególności pojęcia te są zgodne w lokalnie zwartych ośrodkowych przestrzeniach metrycznych.

W teorii mnogości, w odniesieniu do przestrzeni polskich zwyczajowo przyjmuje się pierwszą definicję, co założono w dalszej części artykułu.

Własności i przykłady

Z definicji wynika, że dla dowolnej przestrzeni topologicznej $(X, \tau)$ borelowskimi są zbiory otwarte i domknięte tej przestrzeni, a ponadto ich różnice oraz przeliczalne sumy i iloczyny.

Rodzina zbiorów borelowskich na prostej jest generowana przez wszystkie przedziały otwarte (równoważnie: domknięte) o końcach wymiernych. Nie ma naturalnego przykładu podzbioru prostej rzeczywistej, który nie byłby borelowski (intuicyjnie wszystkie zbiory, które można opisać wzorem są borelowskie): istnieją jednak konstrukcje zbiorów korzystające z pewnika wyboru, które dają zbiory nie należące do tej klasy. Przykładami mogą być zbiór Vitalego lub zbiór Bernsteina. Z konstrukcji miary Lebesgue'a podzbiory borelowskie prostej rzeczywistej są mierzalne w sensie Lebesgue'a. Mają one ponadto własność Baire'a.

Przestrzenie polskie

Podana wyżej definicja zbiorów borelowskich ma ograniczoną użyteczność z tego powodu, że nie podaje ona żadnej informacji o strukturze tych zbiorów. Mówiąc najmniejsze σ-ciało zawierające zbiory otwarte nie dajemy żadnej wskazówki co do tego, które z podzbiorów przestrzeni należą do tego ciała. Budowę tego σ-ciała możemy opisać krok po kroku, a w przestrzeniach polskich (i ogólniej w przestrzeniach metrycznych) otrzymujemy w ten sposób szczególnie interesujący opis (wynikający z faktu, że każdy zbiór domknięty jest przekrojem przeliczalnie wielu zbiorów otwartych). Opis ten podaje tak zwaną hierarchię zbiorów borelowskich i jest podstawowym pojęciem w opisowej teorii mnogości.

Definicja

Niech X będzie przestrzenią polską. Przez indukcję po liczbach porządkowych $0<\alpha<\omega_1$ definiujemy rodziny $\mathbf{\Sigma}^0_\alpha(X),\mathbf{\Pi}^0_\alpha(X),\Delta^0_\alpha(X)$ podzbiorów przestrzeni X.

• $\mathbf{\Sigma}^0_1(X)$ jest rodziną wszystkich otwartych podzbiorów X, $\mathbf{\Pi}^0_1(X)$ jest rodziną wszystkich domkniętych podzbiorów przestrzeni X (a więc elementy $\mathbf{\Pi}^0_1(X)$ to dopełnienia zbiorów z $\mathbf{\Sigma}^0_1(X)$). Ponadto kładziemy $\Delta^0_1(X)=\mathbf{\Sigma}^0_1(X)\cap \mathbf{\Pi}^0_1(X)$, czyli $\Delta^0_1(X)$ jest rodziną wszystkich otwarto-domkniętych podzbiorów X.
• Przypuśćmy, że zdefiniowaliśmy już $\mathbf{\Sigma}^0_\beta(X),\mathbf{\Pi}^0_\beta(X),\Delta^0_\beta(X)$ dla $0<\beta<\alpha$. Określamy:

$\mathbf{\Sigma}^0_\alpha(X)$ jest rodziną wszystkich zbiorów postaci $A=\bigcup\limits_{n=0}^\infty A_n$, gdzie $A_n\in \bigcup\limits_{\beta<\alpha}\mathbf{\Pi}^0_\beta(X)$ (dla wszystkich n),

$\mathbf{\Pi}^0_{\alpha(X)}$ jest rodziną wszystkich zbiorów $A\subseteq X$ takich, że $X\setminus A\in \mathbf{\Sigma}^0_\alpha(X)$,

$\Delta^0_\alpha(X)=\mathbf{\Sigma}^0_\alpha(X)\cap \mathbf{\Pi}^0_\alpha(X)$.

Zdefiniowane powyżej rodziny zbiorów są czasami nazywane klasami borelowskimi. Jeśli wiadomo w jakiej przestrzeni polskiej pracujemy (albo jeśli nie jest to istotne), to piszemy $\mathbf{\Sigma}^0_\alpha,\mathbf{\Pi}^0_\alpha,\Delta^0_\alpha$ (zamiast $\mathbf{\Sigma}^0_\alpha(X),\mathbf{\Pi}^0_\alpha(X),\Delta^0_\alpha(X)$).

Własności

Niech X będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską i niech wszystkie wspomniane poniżej klasy borelowskie odnoszą się do tej przestrzeni.

• Dla każdych $0<\alpha<\beta<\omega_1$ zachodzą następujące inkluzje:

$\mathbf{\Sigma}^0_\alpha\subseteq\Delta^0_\beta\subseteq \mathbf{\Sigma}^0_\beta$ oraz $\mathbf{\Pi}^0_\alpha\subseteq\Delta^0_\beta\subseteq \mathbf{\Pi}^0_\beta$.

Każda z tych inkluzji jest właściwa (tzn nie zachodzi żadna z odpowiednich równości).

• $\bigcup\limits_{0<\alpha<\omega_1}\mathbf{\Sigma}^0_\alpha=\bigcup\limits_{0<\alpha<\omega_1}\mathbf{\Pi}^0_\alpha$ jest rodziną wszystkich borelowskich podzbiorów X.
• Klasy $\mathbf{\Sigma}^0_\alpha$ są zamknięte na sumy przeliczalne i skończone przekroje zbiorów, a klasy $\mathbf{\Pi}^0_\alpha$ są zamknięte na przekroje przeliczalne i skończone sumy.
• Każda klasa $\Delta^0_\alpha$ jest ciałem podzbiorów X.

Borelowskie podzbiory doskonałych przestrzeni polskich są jednymi z obiektów zainteresowań w opisowej teorii mnogości. Poniżej mówiąc o zbiorach borelowskich myślimy o borelowskich podzbiorach jakiejkolwiek doskonałej przestrzeni polskiej.

• Każdy nieprzeliczalny zbiór borelowski ma doskonały podzbiór, więc też podzbiór homeomorficzny z zbiorem Cantora. Więc, każdy nieskończony zbiór borelowski jest albo przeliczalny albo mocy continuum, nawet bez założenia hipotezy continuum.
• Moc rodziny zbiorów borelowskich wynosi continuum. Tak więc pomimo tego, że trudno jest podać przykład zbioru, który nie jest borelowski, zbiorów nieborelowskich jest "więcej" niż borelowskich.
• Ciągły różnowartościowy obraz zbioru borelowskiego jest zbiorem borelowskim. W ogólności jednak, ciągły obraz zbioru borelowskiego nie musi być borelowski (zob. zbiór analityczny).
• Wszystkie doskonałe przestrzenie polskie są borelowsko izomorficzne. Jeśli $X$ jest doskonałą przestrzenią polską, to istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna $f:X\longrightarrow {\mathbb R}$ która jest funkcją mierzalną względem σ-ciała zbiorów borelowskich. (Wówczas również funkcja odwrotna $f^{-1}$ jest mierzalna.)
• Twierdzenie Kuratowskiego mówi że jeśli $X_1,X_2$ są doskonałymi przestrzeniami polskimi, to można wybrać ich borelowskie podzbiory pierwszej kategorii $Z_1\subseteq X_1$ i $Z_2\subseteq X_2$, takie że przestrzenie $X_1\setminus Z_1$ i $X_2\setminus Z_2$ są homeomorficzne.

Notacja

Notację $\mathbf{\Sigma}^0_\alpha$ wprowadził John W. Addison w 1959. Addison napisał ten artykuł w Warszawie gdy był gościem Instytutu Matematycznego PAN. Dziękuje on Andrzejowi Mostowskiemu (który był profesorem na UW) oraz pisze

It seems particularly desirable to introduce simple, uniform and easy-to-remember notations for the classes of the various hierarchies. [...] After lengthy discussions here in Warszawa it has been decided to propose $\mathbf{\Sigma}^{0(C)}_k$ [...] ($\mathbf{\Sigma}^{1(C)}_k$) for the hierarchies built on the class of predicates recursive in C by quantifying over $N$ ($N^N$)

Among the advantages we cite: [...] it is easily extended to hierarchies defined by quantifiers of higher type [...]

[Tłumaczenie: Wydaje się że wprowadzenie prostych, jednorodnych i łatwych do zapamiętania oznaczeń dla klas różnych hierchii jest szczególnie pożądane. [...] Po dłuższych dyskusjach tutaj w Warszawie postanowiono zaproponować $\mathbf{\Sigma}^{0(C)}_k$ [...] ($\mathbf{\Sigma}^{1(C)}_k$) dla hierarchii zbudowanych na klasie predykatów rekurencyjnych w C przez kwantyfikowanie nad $N$($N^N$).]

Po pewnym czasie symbolika wprowadzona przez Addisona przyjęła się w całej teorii mnogości. Często jednak w topologii oraz w starszych podręcznikach teorii mnogości dla początkowych klas borelowskich używa się następującej symboliki:

• elementy klas $\mathbf{\Sigma}^0_1,\mathbf{\Pi}^0_1$ to, oczywiście, zbiory otwarte i domknięte, odpowiednio,
• elementy klasy $\mathbf{\Sigma}^0_2$ są nazywane zbiorami typu F_σ a zbiory z klasy $\mathbf{\Pi}^0_2$ to zbiory typu G_δ,
• elementy klas $\mathbf{\Sigma}^0_3,\mathbf{\Pi}^0_3$ są nazywane zbiorami typu G_δσ i zbiorami typu F_σδ, odpowiednio, etc.

Zobacz też

• przestrzeń mierzalna
• funkcja mierzalna
• zbiór typu F-sigma
• zbiór typu G-delta
• zbiory analityczne
• zbiory rzutowe
• miara Haara