Funkcja charakterystyczna zbioru

Z Wikipedii

Funkcja charakterystyczna zbioru – jedno z pojęć matematycznych, mających zastosowanie w teorii miary i teorii ciągów funkcji mierzalnych. Przykładem funkcji charakterystycznej jest funkcja Dirichleta (funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych).

[edytuj] Definicja

Niech $A$ będzie dowolnym zbiorem, zaś $B$ jego podzbiorem, $B \subseteq A$ . Funkcją charakterystyczną zbioru lub indykatorem $B$ nazywamy funkcję rzeczywistą $f\colon A \longrightarrow \mathbb R$ określoną następującym wzorem:

$f(x) := \begin{cases} \ 1 & \mbox{gdy } x \in B \\ \ 0 & \mbox{gdy } x \notin B\end{cases}$

Oznaczeniem funkcji charakterystycznej zbioru $B\subseteq A$ jest $\mathbf 1_B, \chi_B$ bądź $\mathbf 1_{B, A}, \chi_{B, A}$ .

[edytuj] Zastosowania

Jeśli $f\colon A\longrightarrow \overline{\mathbb{R}}$ jest nieujemną funkcją mierzalną, to ciąg $\left(\frac{1}{2^n}\sum_{k=1}^{n\cdot 2^n}\chi_{\{x\in A\colon f(x)>\frac{k}{2^n}\},A}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ jest punktowo zbieżny do $f\;$ .