Funkcja charakterystyczna zbioru

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja charakterystyczna zbioru – jedno z pojęć matematycznych, mających zastosowanie w teorii miary i teorii ciągów funkcji mierzalnych. Przykładem funkcji charakterystycznej jest funkcja Dirichleta (funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych).

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech A będzie dowolnym zbiorem, zaś B jego podzbiorem, B \subseteq A. Funkcją charakterystyczną zbioru lub indykatorem B nazywamy funkcję rzeczywistą f\colon A \longrightarrow \mathbb R określoną następującym wzorem:

f(x) := \begin{cases} 1, & \mbox{gdy } x \in B, \\ 0, & \mbox{gdy } x \notin B. \end{cases}

Oznaczeniem funkcji charakterystycznej zbioru B\subseteq A jest \mathbf 1_B, \chi_B bądź \mathbf 1_{B, A}, \chi_{B, A}.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

\left(\frac{1}{2^n}\sum_{k=1}^{n 2^n}\chi_{\{x \in A\colon f(x) > k/2^n\},A}\right)_{n\in\mathbb{N}}
jest punktowo zbieżny do f.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]