Równanie Boltzmanna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równanie kinetyczne Boltzmanna, równanie transportu Boltzmanna (1872) – podstawowe równanie kinetycznej teorii gazów opisujące ewolucję gazu w stanie braku równowagi termodynamicznej. Najsłynniejszą i budzącą najwięcej dyskusji konsekwencją równania Boltzmanna jest twierdzenie H, które przewiduje nieodwracalność relaksacji gazu do stanu równowagi termodynamicznej pomimo odwracalności mikroskopowej dynamiki zderzeń międzycząsteczkowych. Równanie Boltzmanna ma fundamentalne znaczenie dla teorii chaosu; stanowi także punkt wyjścia do teoretycznego uzasadnienia podstawowych równań mechaniki płynów: równania Naviera-Stokesa i równania przewodnictwa cieplnego.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Równanie Boltzmanna jest nieliniowym równaniem różniczkowo-całkowym na jednopunktową funkcję rozkładu \ f_1:


\frac{\partial f_1}{\partial t}
+  \mathbf{v}_1 \cdot \frac{\partial f_1}{\partial \mathbf{r}} 
+ \frac{\mathbf{F}}{m} \cdot \frac{\partial f_1}{\partial \mathbf{v}_1} 
= \int d\Omega \int d^3v_2\,\sigma(\Omega)|\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2|(f_2'f_1' - f_2f_1).

gdzie

  • \ t – czas
  • \mathbf{r} – położenie
  • \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 – prędkości cząstek przed zderzeniem
  • \mathbf{v}_1', \mathbf{v}_2' – prędkości cząstek po zderzeniu
  • f_1 \equiv f(\mathbf{r}, \mathbf{v}_1,t) – funkcja rozkładu w punkcie \mathbf{r} i chwili \ t cząstek o prędkości \mathbf{v}_1
  • f_2 \equiv f(\mathbf{r}, \mathbf{v}_2,t) – funkcja rozkładu w punkcie \mathbf{r} i chwili \ t cząstek o prędkości \mathbf{v}_2
  • f_1' \equiv f(\mathbf{r}, \mathbf{v}_1',t) – funkcja rozkładu w punkcie \mathbf{r} i chwili \ t cząstek o prędkości \mathbf{v}_1'
  • f_2' \equiv f(\mathbf{r}, \mathbf{v}_2',t) – funkcja rozkładu w punkcie \mathbf{r} i chwili \ t cząstek o prędkości \mathbf{v}_2'
  • \mathbf{F} – zewnętrzna siła (np. grawitacja)
  • \ m – masa cząstek gazu opisywanego równaniem
  • \ \Omegabryłowy kąt rozpraszania (w układzie środka masy)
  • \ \sigma(\Omega)różniczkowy przekrój czynny dla zderzenia o kącie rozpraszania \ \Omega

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Kerson Huang: Mechanika statystyczna, wydanie II, PWN, Warszawa 1987.