Równania Naviera-Stokesa

Równania Naviera-Stokesa (nazwane na cześć Claude-Louis Naviera i George Gabriel Stokesa) – zestaw równań w postaci równań ciągłości, opisujące zasadę zachowania masy i pędu dla poruszającego się płynu. Według nich zmiany pędu elementu płynu zależą jedynie od zewnętrznego ciśnienia i wewnętrznych sił lepkości w płynie.

Dla płynu idealnego o zerowej lepkości równania mówią, że przyspieszenie jest proporcjonalne do pochodnej ciśnienia.

Oznacza to, że rozwiązania równań dla danego problemu fizycznego muszą być znalezione na drodze rachunku różniczkowego i całkowego. W praktyce, jedynie najprostsze przypadki mogą być rozwiązane dokładnie na tej drodze. To znaczy przypadki nieturbulentnego, spokojnego przepływu (nie zmieniającego się w czasie), w których liczba Reynoldsa ma małą wartość.

W bardziej złożonych przypadkach, takich jak systemy badania pogody na Ziemi, takie jak El Niño lub przy obliczeniach siły nośnej skrzydeł samolotów, rozwiązania równań Naviera-Stokesa mogą być znalezione jedynie metodami numerycznymi przy pomocy komputerów. Jest to oddzielna dziedzina nauki zwana obliczeniową mechaniką płynów.

W 2000 roku Instytut Matematyczny Claya ogłosił równania Naviera-Stokesa jednym z siedmiu problemów milenijnych matematyki i zaoferował 1 000 000 dolarów nagrody za podanie rozwiązania lub kontrprzykładu

Ogólna forma równania

Ogólna forma równań Naviera-Stokes'a dla zasady zachowania pędu:

$\rho\frac{D\mathbf{v}}{D t} = \nabla\cdot\mathbb{P} + \rho\mathbf{f}$

gdzie:

• $\rho\$ - gęstość płynu,
• $\frac{D}{D t}$ - Operator Stokesa zwany też pochodną substancjalną,
• $\mathbf{v}$ - wektor prędkości,
• $\mathbf{f}$ - wektor przyspieszenia płynu (sił masowych),
• $\mathbb{P}$ - tensor naprężeń wewnętrznych w elemencie płynu.

Ogólnie, (w trzech wymiarach) $\mathbb{P}$ ma postać:

$\mathbb{P} = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz} \end{pmatrix}$

gdzie:

• $\sigma\$ - naprężenia normalne,
• $\tau\$ - naprężenia styczne.

Dla przepływów bezwirowych $\mathbb{P}$ jest tensorem symetrycznym. Wówczas trzy równania, po jednym dla każdego wymiaru, same jako takie nie wystarczają do rozwiązania problemu. Jednak dodając zasadę zachowania masy i odpowiednie warunki początkowe, układ staje się rozwiązywalnym zestawem równań.