Równania Naviera-Stokesa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równania Naviera-Stokesa (nazwane na cześć Claude’a-Louis Naviera i George’a Gabriela Stokesa) – zestaw równań w postaci równań ciągłości, opisujących zasadę zachowania masy i pędu dla poruszającego się płynu. Według nich zmiany pędu elementu płynu zależą jedynie od zewnętrznego ciśnienia i wewnętrznych sił lepkości w płynie.

Dla płynu idealnego o zerowej lepkości równania mówią, że przyspieszenie jest proporcjonalne do pochodnej ciśnienia.

Oznacza to, że rozwiązania równań dla danego problemu fizycznego muszą być znalezione na drodze rachunku różniczkowego i całkowego. W praktyce, jedynie najprostsze przypadki mogą być rozwiązane dokładnie na tej drodze. To znaczy przypadki nieturbulentnego, spokojnego przepływu (nie zmieniającego się w czasie), w których liczba Reynoldsa ma małą wartość.

W bardziej złożonych przypadkach, takich jak systemy badania pogody na Ziemi, takie jak El Niño lub przy obliczeniach siły nośnej skrzydeł samolotów, rozwiązania równań Naviera-Stokesa mogą być znalezione jedynie metodami numerycznymi przy pomocy komputerów. Jest to oddzielna dziedzina nauki zwana obliczeniową mechaniką płynów.

W 2000 roku Instytut Matematyczny Claya ogłosił równania Naviera-Stokesa jednym z siedmiu problemów milenijnych matematyki i zaoferował 1 000 000 dolarów nagrody za podanie rozwiązania lub kontrprzykładu[1]

Ogólna forma równania[edytuj | edytuj kod]

Ogólna forma równań Naviera-Stokes’a dla zasady zachowania pędu:

\rho\frac{D\mathbf{v}}{D t} = \nabla\cdot\mathbb{P} + \rho\mathbf{f}

gdzie:

  • \rho\ – gęstość płynu,
  • \frac{D}{D t}Operator Stokesa zwany też pochodną substancjalną,
  • \mathbf{v} – wektor prędkości,
  • \mathbf{f} – wektor przyspieszenia płynu (sił masowych),
  • \mathbb{P}tensor naprężeń wewnętrznych w elemencie płynu.

Ogólnie (w trzech wymiarach) \mathbb{P} ma postać:

\mathbb{P} = \begin{pmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz}
\end{pmatrix}

gdzie:

  • \sigma\ – naprężenia normalne,
  • \tau\ – naprężenia styczne.

Dla przepływów bezwirowych \mathbb{P} jest tensorem symetrycznym. Wówczas trzy równania, po jednym dla każdego wymiaru, same jako takie nie wystarczają do rozwiązania problemu. Jednak dodając zasadę zachowania masy i odpowiednie warunki początkowe, układ staje się rozwiązywalnym zestawem równań.

Przypisy

  1. Millennium Prize Problems (ang.). [dostęp 2011-01-07].