Równia pochyła

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równia pochyła – jedna z maszyn prostych. Urządzenia, których działanie oparte jest na równi, były używane przez ludzkość od dawnych dziejów. Przykładem równi jest dowolna płaska pochylnia.

Równia to płaska powierzchnia nachylona do poziomu pod pewnym kątem. Wyznaczanie parametrów ruchu ciała po tej powierzchni (przede wszystkim wyznaczenie przyspieszenia) nazywane jest zagadnieniem równi.

Równia bez tarcia[edytuj | edytuj kod]

Rozkład sił na równi

Jeżeli między ciałem a powierzchnią równi nie występuje tarcie, to ciało przyspiesza w kierunku stycznym do powierzchni w dół. Przyspieszenie to jest proporcjonalne do iloczynu przyspieszenia ziemskiego i sinusa kąta nachylenia równi

 G = mg \,
 F_1 = G \sin \alpha \,
 m a = F_1 \,
 m a =  m g \sin \alpha \,
 a=g\cdot \sin\alpha

gdzie

g - przyspieszenie ziemskie,
α - kąt nachylenia równi do poziomu.

Jeżeli znana jest wysokość h, na jakiej ciało początkowo spoczywało i odległość l, jaką pokonało na równi do osiągnięcia poziomu podstawy, wzór ten można zapisać w postaci

 a= g \frac h l

Równia z tarciem[edytuj | edytuj kod]

Rozkład sił na równi z uwzględnieniem siły tarcia

Jeżeli ciało spoczywa, siła tarcia statycznego równoważy siłę wypadkową działającą na to ciało. Siła tarcia statycznego może przyjąć tylko wartości mniejsze od wynikających z prawa tarcia. Siła tarcia jest kolejną siłą, którą trzeba uwzględnić przy wyznaczaniu siły wypadkowej. Warunek na spoczynek ciała na równi określa wzór:

 \operatorname{tg} \alpha \leqslant \mu_s

gdzie:

μs - współczynnik tarcia spoczynkowego.

Dla ciała poruszającego się w dół równi przyspieszenie określone jest wzorem:

a =  g(\sin \alpha - \mu_d\cos \alpha) \, ,

dodatnia wartość wskazuje przyspieszenie w dół równi, czyli ruch przyspieszony, ujemna - przyspieszenie w górę równi, czyli ruch opóźniony.

Dla poruszającego się w górę równi:

a =  g(\sin \alpha + \mu_d\cos \alpha)\, ,

przyspieszenie jest skierowane w dół równi, co oznacza, że ruch jest zawsze opóźniony.

Historia[edytuj | edytuj kod]

W XVII wieku Galileusz wykorzystał obserwacje staczających się po równi pochyłej kul o różnych ciężarach, do sformułowania rewolucyjnego na owe czasy wniosku, że prędkość spadającego swobodnie ciała nie zależy od jego masy. Przeczyło to przyjmowanym wtedy powszechnie poglądom Arystotelesa , że ciało spada tym prędzej im jest cięższe. Na podstawie tych obserwacji Galileusz sformułował też swą regułę spadku swobodnego:

w kolejnych jednostkach czasu spadające swobodnie ciało przebywa drogi proporcjonalne do kolejnych liczb nieparzystych

Przyjmuje się powszechnie, że równie pochyłe posłużyły do budowy piramid w starożytnym Egipcie.

W notacji wektorowej[edytuj | edytuj kod]

Równia bez tarcia[edytuj | edytuj kod]

Na ciało działa siła grawitacji G oraz siła reakcji N równi na nacisk ciała na nią. Siła nacisku jest równa składowej ciężaru normalnej do powierzchni F2. Z rysunku widać, że

 \mathbf G = m \mathbf g
 \mathbf N = - \mathbf F_2
 \mathbf F_2 = (\mathbf G \cdot \mathbf {\hat n}) \mathbf {\hat n}  = |\mathbf G|\cdot\cos \alpha \cdot\mathbf{\hat n}
 \mathbf F_1 = (\mathbf G \cdot \mathbf {\hat r}) \mathbf {\hat r} =  |\mathbf G|\cdot\sin \alpha  \cdot \mathbf{\hat r}
 \mathbf F_w =  \mathbf G + \mathbf N = \mathbf G - \mathbf F_2  = \mathbf F_1

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona:

m \mathbf a = \mathbf F_w = \mathbf F_1 =|\mathbf G|\cdot\sin \alpha \cdot  
\mathbf{\hat r}
\mathbf a =(\mathbf g \cdot \mathbf {\hat r})\mathbf {\hat r}= |\mathbf g|\cdot\sin \alpha \cdot \mathbf{\hat r}
 \sin \alpha = \frac h l

gdzie:

\mathbf{\hat r} - jest wersorem (wektorem o długości jednostkowej) o kierunku wzdłuż płaszczyzny równi, zwróconym w dół,
\mathbf{\hat n}  - jest wersorem w kierunku prostopadłym do płaszczyzny równi, zwróconym w dół,
\mathbf g  - jest wektorem przyspieszenia ziemskiego.
\mathbf a  - przyspieszenie ruchu ciała na równi.

Równia z tarciem[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli między równią a ciałem na nim spoczywającym występuje tarcie, relacje między siłami przybiorą postać:

 \mathbf {T_s} = -{\mathbf {F_w}}
 |\mathbf {T_s}| \leqslant |\mathbf N | \mu
 0 = \mathbf F_w =  \mathbf G + \mathbf N + \mathbf {T_s} = \mathbf G - \mathbf F_2 + \mathbf {T_s} = \mathbf F_1 + \mathbf {T_s}
 \mathbf F_1 = - \mathbf {T_s}

Warunek pozostawania ciała w spoczynku na równi:

 \mathbf |F_1| \leqslant |\mathbf N | \mu

co odpowiada

 \operatorname{tg} \alpha \leqslant \mu_s

gdzie:

μs - współczynnik tarcia statycznego,
 \mathbf {T_s} siła tarcia statycznego.

Dla ciała poruszającego się siła tarcia przeciwdziała ruchowi ciała, oznacza to że ma kierunek taki jak kierunek ruchu ciała, zwrot przeciwny do zwrotu ruchu ciała, a wartość proporcjonalną do siły nacisku, co można wyrazić wzorem:

 \mathbf T_d = - \mu_d |\mathbf N | \mathbf {\hat v }
m \mathbf a = \mathbf F_w = \mathbf F_1 + \mathbf T_d = |\mathbf G|(\sin \alpha \mathbf{\hat r} + \mu_d\cos \alpha \mathbf{\hat v})
\mathbf a = |\mathbf g|(\sin \alpha \mathbf{\hat r} + \mu_d\cos \alpha \mathbf{\hat v})

gdzie:

 \mathbf{\hat v} - jest wersorem o kierunku i zwrocie prędkości ciała,
μd - współczynnik tarcia kinetycznego.
Wikimedia Commons