Kąt

Kąt (płaski) – w geometrii euklidesowej każda z dwóch części (tj. podzbiorów) płaszczyzny zawartych między dwiema półprostymi (wraz z nimi), nazwanymi ramionami, o wspólnym początku, zwanym wierzchołkiem. Innymi słowy jest to część wspólna dwóch półpłaszczyzn, wyznaczonych przez dwie nierównoległe proste, wraz z ich brzegami (nazywanymi ramionami; ich punkt przecięcia to wierzchołek).

Często, niezbyt precyzyjnie, „kątem” nazywa się jego miarę (zob. niżej). Kątem obrotu nazywa się miarę kąta (skierowanego) między dowolną prostą przechodzącą przez środek (punkt stały) obrotu, a prostą będącą jej obrazem (wspomniane dwie proste przecinają się we wspomnianym środku wyznaczając kąt w powyższym sensie, zob. Kąty wyznaczane przez proste).

W artykule opisano pojęcie tzw. kąta płaskiego na płaszczyźnie euklidesowej z uogólnieniami w oddzielnej sekcji.

Miara kąta

Każdemu kątowi można przyporządkować pewną wartość zwaną miarą kąta, przy czym można to zrobić na wiele sposobów; z matematycznego punktu widzenia najnaturalniejszą z nich jest miara łukowa z radianem (rad) jako jej bezwymiarową jednostką; pozostałymi jednostkami miary łukowej są m.in. stopień (°), grad (^g) oraz tysiączna. Do innych, szerzej stosowanych miar kąta można zaliczyć miarę procentową zdefiniowaną dla trójkątów prostokątnych.

Miara łukowa

Definicja radiana.

Miarę łukową definiuje się jako długość łuku wyciętego przez kąt z okręgu jednostkowego o środku w wierzchołku kąta (zob. kąt środkowy), bądź jako stosunek długości łuku okręgu opartego na tym kącie (tzn. o środku w wierzchołku tego kąta) do długości promienia tego okręgu.

Miara radialna

Miara łukowa wynosi jeden radian, gdy długość łuku okręgu jest równa promieniowi okręgu, w przypadku okręgu jednostkowego oznacza to, że długość łuku okręgu jest jednostkowa; mówi się wtedy o mierze radialnej kąta, choć zwykle nazywa się ją po prostu „łukową”. Przyjmuje ona wartości rzeczywiste z przedziału $\scriptstyle [0, 2\pi],$ a jednostką tej miary jest promień okręgu, skąd pochodzi nazwa miary i jednostki. W związku z tym miarę tę odczytuje się ją jak zwykłą liczbę rzeczywistą, zazwyczaj jako odpowiedni ułamek, np. kąt o mierze 31/19 rad czyta się „trzydzieści jeden dziewiętnastych radianów” (przy czym w częstokroć pomija się jednostkę, gdy miara radialna jest wielokrotnością liczby pi).

Miary stopniowa i godzinowa

W życiu codziennym i nauce szkolnej zwykle używa się miary stopniowej, czyli miary łukowej o jednostce stopniowej, w której okrąg jednostkowy (kąt pełny) dzieli się na $\scriptstyle 360$ stopni kątowych (°), każdy z nich na $\scriptstyle 60$ minut kątowych (′), a każdą z nich na $\scriptstyle 60$ sekund kątowych (″), czasem korzysta się też z tercji kątowych (‴) i kwart kątowych (⁗), choć zwykle ułamki sekund kątowych podaje się za pomocą ułamków dziesiętnych (na podobnej zasadzie rezygnuje się czasem już z minut); przykładowo miarę 10°23′45″76 czyta się „10 stopni, 23 minuty, 45 i 76 setnych sekundy” (wynosi więc ona 10,396°).

W astronomii spotyka się również jednostkę godziny kątowej (^h), która dzieli okrąg jednostkowy na 24 równe części, a więc równej 15°; z analogicznym jej podziałem na minuty, sekundy (tercje i kwarty) kątowe.

Miara gradowa

Kątomierz z miarą gradową.

W praktyce militarnej i geodezyjnej stosowana bywa miara gradowa, czyli miara łukowa z jednostką gradową, tzn. podział okręgu jednostkowego (kąta pełnego) na $\scriptstyle 400$ gradów lub gradusów (^g), z których każdy dzieli się na $\scriptstyle 100$ centygrad(us)ów (^c), a każdy z nich na $\scriptstyle 100$ myriograd(us)ów (^cc); podobnie jak w przypadku miary stopniowej centygrady i myriogrady można zastępuje się ułamkami dziesiętnymi. Przykładowo 87^g65^c43^cc21 czyta się „87 gradów, 65 ce, 43 i 21 setnych cece” (co oznacza 87,654321^g).

Miara tysiączna

W artylerii korzysta się także z jednostki zwanej tysiączną, definiowaną jako miarę kąta środkowego, który z okręgu o kilometrowym promieniu wycina łuk o metrowej długości; jest to więc jednostka pochodna względem radiana, równa jednej jego tysięcznej, skąd pochodzi nazwa. W przybliżeniu tysiączna jest równa $\scriptstyle 1/6283{,}2$ kąta pełnego, lecz dla uproszczenia obliczeń spotyka się także definicje tysiącznej artyleryjskiej równej $\scriptstyle 1/6400$ kąta pełnego oraz tysiącznej Rimailho równej $\scriptstyle 1/6000$ kąta pełnego.

Pozostałe

W pomiarach nachylenia nawierzchni (np. drogi) używa się miary procentowej danej jako stosunek wzniesienia do jego długości wyrażony procentowo, zatem $\scriptstyle 1%$ oznacza wzniesienie, którego wysokość wzrasta o 1 cm na każde 100 cm jego długości.

Porównanie

W definicjach funkcji trygonometrycznych opartych na trójkącie prostokątnym, czy okręgu jednostkowym ich argumenty są miarami odpowiednich kątów, jednakże w ich uogólnieniach (np. za pomocą szeregu Taylora, czy równań różniczkowych) argumenty mogą być dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Rozszerzone definicje pokrywają się z prostszymi przy zastosowaniu miary łukowej, przy czym nie bez znaczenia jest fakt, iż definicje te mają zwykle najprostszą możliwą postać przy zastosowaniu radianów, co niejako wyróżnia tę miarę i jednostkę spośród pozostałych jako najbardziej naturalne.

Niech przykładem będą wzory na kolejne pochodne funkcji sinus:

$\begin{cases} \sin^\prime x & = \quad\cos x, \\ \sin^{\prime\prime} x & = -\sin x, \\ \sin^{\prime\prime\prime} x & = -\cos x, \\ \sin^{\prime\prime\prime\prime} x & = \quad\sin x; \end{cases}$

zachodzą one jednak tylko dla kątów o mierze łukowej wyrażonych w radianach. Jeśli oznaczyć funkcje funkcje sinus i cosinus przyjmujące argumenty wyrażone w stopniach przez $\scriptstyle \sin_\mathrm{deg} x = \sin \frac{\pi}{180} x$ oraz $\scriptstyle \cos_\mathrm{deg} x = \cos \frac{\pi}{180} x,$ to powyższe wzory przyjmą mniej dogodną postać

$\begin{cases} \sin^\prime_\mathrm{deg} x = \quad\frac{\pi}{180} \cos_\mathrm{deg} x, \\ \sin^{\prime\prime}_\mathrm{deg} x = -\tfrac{\pi^2}{180^2} \sin_\mathrm{deg} x, \\ \sin^{\prime\prime\prime}_\mathrm{deg} x = -\tfrac{\pi^3}{180^3} \cos_\mathrm{deg} x, \\ \sin^{\prime\prime\prime\prime}_\mathrm{deg} x = \quad\tfrac{\pi^4}{180^4} \sin_\mathrm{deg} x; \end{cases}$

podobne współczynniki pojawiają się przy dowolnej, innej jednostce miary łukowej kąta i innej niż łukowa mierze kąta.

Klasyfikacja

Kąty można też klasyfikować ze względu na pojęcia zawierania (kąty zerowy, półpełny i pełny), wypukłości (kąty wypukły i wklęsły), bądź prostopadłości lub przystawania (kąt prosty; kąty ostry i rozwarty – z zawieraniem). Ponieważ dwa kąty płaskie o równej tej samej mierze są przystające, to klasyfikacji kątów można dokonać grupując je również względem ustalonego zakresu ich miar (niżej używane będą miara łukowa wraz z miarą stopniową podaną w nawiasie):

• zerowy – kąt utworzony przez dwie półproste pokrywające się, a tym samym im równy; jego miara jest równa 0 rad (lub 0°);
• półpełny – każdy z dwu kątów utworzonych przez dwie półproste uzupełniające się do prostej; jego miara wynosi π rad (lub 180°);
• pełny – kąt utworzony przez dwie półproste pokrywające się i równy całej płaszczyźnie; jego miara jest równa 2π rad (lub 360°);
• prosty – kąt przystający do kąta mającego z nim wspólne jedno tylko ramię, podczas gdy pozostałe ramiona tworzą prostą; jego miara wynosi π/2 rad (lub 90°);
• ostry – kąt ściśle zawierający się w pewnym kącie prostym; ma miarę większą od 0 rad (lub 0°), lecz mniejszą od π/2 rad (lub 90°);
• rozwarty – kąt ściśle zawarty w pewnym kącie półpełnym, lecz nie będący ani ostrym, ani prostym; ma miarę większą niż π/2 rad (lub 90°), lecz mniejszą niż π rad (lub 180°);
• wypukły – kąt będący figurą wypukłą; miara takiego kąta jest mniejsza lub równa π rad (lub 180°) albo równa 2π rad (lub 360°);
• wklęsły – kąt, który nie jest wypukły; miara takiego kąta jest większa niż π rad (lub 180°), lecz mniejsza niż 2π rad (lub 360°).

Wyjąwszy przypadek, gdy ramiona kąta uzupełniają się do prostej (oba kąty są wtedy półpełne) lub pokrywają się (jeden z kątów jest wtedy zerowy, a drugi pełny) jeden z kątów można jednoznacznie zidentyfikować jako wypukły, drugi zaś jako wklęsły (w przeciwnym przypadku oba są wypukłe); czasem możliwe jest też wyróżnienie wśród nich kąta rozwartego bądź ostrego.

Kąty wyznaczane przez proste

• 

  Para $\scriptstyle \alpha, \beta$ kątów przyległych.

• 

  Kąty dopełniające $\scriptstyle \alpha, \beta.$

• 

  Kąty $\scriptstyle \alpha, \beta$ są wierzchołkowe.

• 

  Kąty naprzemianległe wewnętrzne.

• 

  Kąty naprzemianległe zewnętrzne.

Gdy proste $\scriptstyle m, n$ są równoległe, zaś $\scriptstyle t$ przecina je obie, to pary kątów oznaczone numerem o tej samej parzystości są przystające (tego samego koloru – zawsze jako wierzchołkowe).

Dowolne dwie nierównoległe proste na płaszczyźnie wyznaczają dwie pary kątów: pary mające wspólne ramię nazywa się kątami przyległymi, z kolei pary mające wspólny wyłącznie wierzchołek nazywa się wierzchołkowymi. Suma miar kątów przyległych jest równa mierze kąta półpełnego, a miary kątów wierzchołkowych są równe. Kąty mające jedno wspólne ramię, pozostałe zaś leżące pod kątem prostym, nazywa się kątami dopełniającymi; suma miar kątów dopełniających jest więc równa mierze kąta prostego.

Dowolne dwie proste $\scriptstyle m, n$ przecięte (nierównoległą do żadnej z nich) trzecią prostą $\scriptstyle t,$ nazywaną sieczną lub transwersalą (prostą transwersalną) wyznaczają łącznie osiem kątów wokół dwóch punktów przecięcia (por. rys. obok). Pary kątów jednokolorowych są przyległe lub wierzchołkowe (pary różnej lub tej samej parzystości z kątów $\scriptstyle \color{blue}1\color{black}, \color{blue}2\color{black}, \color{blue}3\color{black}, \color{blue}4$ bądź $\scriptstyle \color{red}5\color{black}, \color{red}6\color{black}, \color{red}7\color{black}, \color{red}8$).

Cztery kąty leżące między prostymi $\scriptstyle m, n$ nazywa się wewnętrznymi ($\scriptstyle \color{blue}3\color{black}, \color{blue}4\color{black}, \color{red}5\color{black}, \color{red}6$), a pozostałe cztery – zewnętrznymi ($\scriptstyle \color{blue}1\color{black}, \color{blue}2\color{black}, \color{red}7\color{black}, \color{red}8$); pary kątów nieprzyległych leżących po jednej stronie prostej $\scriptstyle t$ nazywa się jednostronnymi (różnokolorowe pary z kątów $\scriptstyle \color{blue}1\color{black}, \color{blue}4\color{black}, \color{red}5\color{black}, \color{red}8$ bądź z kątów $\scriptstyle \color{blue}2\color{black}, \color{blue}3\color{black}, \color{red}6\color{black}, \color{red}7$), z kolei pary kątów nieprzyległych branych z różnych stron tej prostej nazywa się naprzemianległymi (różnokolorowe pary z kątów $\scriptstyle \color{blue}1\color{black}, \color{blue}4\color{black}, \color{red}6\color{black}, \color{red}7$ bądź z kątów $\scriptstyle \color{blue}2\color{black}, \color{blue}3\color{black}, \color{red}5\color{black}, \color{red}8$). W ten sposób wyróżnia się po dwie pary kątów:

• jednostronnych wewnętrznych ($\scriptstyle \color{blue}3\color{black}, \color{red}6$ oraz $\scriptstyle \color{blue}4\color{black}, \color{red}5$),
• jednostronnych zewnętrznych ($\scriptstyle \color{blue}1\color{black}, \color{red}8$ oraz $\scriptstyle \color{blue}2\color{black}, \color{red}7$),
• naprzemianległych wewnętrznych ($\scriptstyle \color{blue}3\color{black}, \color{red}5$ oraz $\scriptstyle \color{blue}4\color{black}, \color{red}6$),
• naprzemianległych zewnętrznych ($\scriptstyle \color{blue}1\color{black}, \color{red}7$ oraz $\scriptstyle \color{blue}2\color{black}, \color{red}8$).

Cztery pary nieprzyległych kątów jednostronnych, które nie są wewnętrzne, ani zewnętrzne, nazywa się odpowiadającymi ($\scriptstyle \color{blue}1\color{black}, \color{red}5$; $\scriptstyle \color{blue}2\color{black}, \color{red}6$; $\scriptstyle \color{blue}3\color{black}, \color{red}7$ oraz $\scriptstyle \color{blue}4\color{black}, \color{red}8$).

Twierdzenie 

Proste $\scriptstyle m, n$ przecięte transwersalą $\scriptstyle t$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy choć jedna para kątów wierzchołkowych bądź odpowiadających jest przystająca (równej miary).

Funkcje trygonometryczne kątów dopełniających („komplementarnych”) dany kąt nazywa się kofunkcjami: sinus kąta dopełniającego nazywa się kosinusem danego kąta, podobnie ma się rzecz z tangensem i kotangensem oraz sekansem i kosekansem. Kofunkcją dla kofunkcji danego kąta jest funkcja tego kąta, gdyż kątem dopełniającym do kąta dopełniającego dany kąt jest on sam – dlatego kofunkcją dla kosinusa, kotangensa, czy kosekansa są odpowiednio sinus, tangens i sekans. Analogiczne uwagi obowiązują dla funkcji cyklometrycznych, hiperbolicznych oraz area.

Kąty związane z okręgiem

Kąty oparte na tym samym łuku okręgu: ogólny (czarny), wpisany (niebieski), środkowy (zielony) oraz kąt dopisany (fioletowy).

Dowolny kąt, który wycina z okręgu ustalony łuk nazywa się opartym na tym łuku. Kąt, którego wierzchołek leży w środku danego okręgu nazywa się środkowym; ponieważ okrąg jest zbiorem punktów równoodległych od jego środka, to „ilość” punktów (długość łuku) wspólna z danym kątem środkowym opisuje „rozmiar” tego kąta – obserwacja ta została wykorzystana do określenia miary łukowej dowolnego kąta, jak przedstawiono to wyżej. Kątem wpisanym w ustalony okrąg nazywa się dowolny kąt, którego wierzchołek leży na tym okręgu, a jego ramiona są zarazem jego siecznymi, z kolei kąt dopisany do okręgu w wybranym jego punkcie, to kąt ostry o wierzchołku w tymże punkcie, którego jedno ramię jest sieczną, a drugie – styczną wspomnianego okręgu; można go traktować jako zdegenerowany przypadek kąta wpisanego, w którym jedna z siecznych staje się styczną.

Twierdzenie o kątach wpisanych 

Miary kątów wpisanych opartych na tym samym łuku są równe.

Twierdzenie o kątach środkowym i wpisanym 

Miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego opartych na tym samym łuku.

Twierdzenie o stycznej i siecznej 

Miara kąta dopisanego wycinającego dany łuk jest równa mierze kąta wpisanego opartego na tym łuku.

Kąt skierowany

Kąt dodatni

Kąt ujemny

Kątem skierowanym (bądź zorientowanym) nazywa się uporządkowaną parę półprostych o wspólnym początku, z których pierwszą nazywa się ramieniem początkowym, a drugą – końcowym; kąty opisane wcześniej nazywa się wtedy dla odróżnienia nieskierowanymi (lub niezorientowanymi). Kąty skierowane o ramionach uporządkowanych w odwrotnej kolejności, tj. w których ramię początkowe jednego jest ramieniem końcowym drugiego, nazywa się przeciwnymi.

Jeśli porównać kąty i odcinki, to kątom nieskierowanym odpowiadają zwykłe odcinki niezorientowane (zwykłe), z kolei kątom skierowanym odpowiadają odcinki zorientowane, czyli wektory (swobodne, afiniczne). Jeśli kąt orientację identyczną z orientacją układu współrzędnych określonego na płaszczyźnie, to wtedy nazywa się go dodatnim, jeśli przeciwną – ujemnym; własność tę nazywa się zwrotem kąta skierowanego. Miara kąta skierowanego dodatniego pokrywa się z miarą odpowiadającego mu kąta nieskierowanego, podczas gdy miara kąta skierowanego ujemnego wyraża się liczbą przeciwną do odpowiadającego temu miary kąta nieskierowanego. W ten sposób kąty przeciwne mają miary będące liczbami przeciwnymi.

Kąty skierowane między wektorami definiuje się biorąc w definicji kąta skierowanego wektory zamiast półprostych; kąty skierowane $\scriptstyle \sphericalangle(\mathbf u, \mathbf v)$ oraz $\scriptstyle \sphericalangle(\mathbf x, \mathbf y)$ o zgodnym zwrocie, utworzone przez wektory $\scriptstyle \mathbf u, \mathbf v$ oraz $\scriptstyle \mathbf x, \mathbf y$ mają też zgodny zwrot wektorów $\scriptstyle \mathbf u \times \mathbf v$ oraz $\scriptstyle \mathbf x \times \mathbf y,$ gdzie $\scriptstyle \times$ oznacza iloczyn wektorowy.

Uogólnienia

Definiuje się również kąty między innymi płaskimi figurami geometrycznymi niż (pół)proste: tego samego rodzaju, np. wektorami (analogicznie), krzywymi (w danym punkcie, w tym okręgami: jako kąt między stycznymi, o ile istnieją), czy też różnego rodzaju, np.

Rozpatruje się także pojęcie kąta w przestrzeni trójwymiarowej (i więcej), np. między płaszczyznami (definiowane np. za pomocą wektorów normalnych), czy prostą i płaszczyzną (jako kąt między prostą a jej rzutem prostopadłym na płaszczyznę).

Ta sekcja jest zalążkiem. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Zobacz też

• twierdzenie Talesa
• kąt wewnętrzny, kąt zewnętrzny

Bibliografia

• „Encyklopedia Matematyka”, wyd. Greg, ISBN 978-83-7517-015-3 (kąt skierowany)