Szereg Laurenta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Obszar zbieżności szeregu Laurenta.

Szereg Laurenta funkcji zespolonej f(z) to reprezentacja tej funkcji w postaci szeregu potęgowego, w którym występują również składniki o wykładniku ujemnym. Rozwinięcia tego używa się, gdy funkcji nie można rozwinąć w szereg Taylora. Nazwa szeregu pochodzi od nazwiska Pierre Alphonse Laurenta, który opublikował go w 1843 roku.

Jeżeli funkcję f(z) możemy zapisać jako sumę funkcji φ(z) oraz ψ(z), takich że można je rozwinąć w zbieżne szeregi na pewnym obszarze D:

\phi(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-c)^n (część regularna)

\psi(z)=\sum_{n=1}^{\infty}a_{-n}(z-c)^{-n} (część osobliwa)

to funkcję f(z) przedstawiamy w postaci

f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n.

Reprezentację taką nazywamy szeregiem Laurenta funkcji f(z)=φ(z)+ψ(z). Część regularna jest zbieżna w kole |z-c|<R\,, a część osobliwa na zewnątrz koła |z-c|\leqslant r\, gdzie

{1 \over R} = \limsup_{n\rightarrow\infty} |a_n|^{1 \over n},
r = \limsup_{n\rightarrow\infty} |a_{-n}|^{1 \over n}.

Szereg Laurenta jest zbieżny w pierścieniu r<|z-c|<R\,. Jeżeli funkcja f(z) jest analityczna w tym pierścieniu, to daje się przedstawić w postaci szeregu Laurenta a współczynniki a_n\, wyrażają się, za pomocą całki krzywoliniowej wzorem

a_n=\frac{1}{2\pi i} \oint\limits_\gamma \frac{f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}.\,

gdzie γ jest dowolną krzywą zamkniętą położoną w obszarze zbieżności i zorientowaną dodatnio względem swego wnętrza (obiegającą punkt c jednokrotnie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).

Przykład rozwinięcia w szereg Laurenta[edytuj | edytuj kod]

f(z)=z^2e^{\frac{1}{z}},\;c=0

Korzystamy z rozwinięcia w szereg funkcji eksponencjalnej:

e^w=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^n}{n!},\;w\in\mathbb{C}
z^2e^{\frac{1}{z}}=z^2(1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2!z^2}+\frac{1}{3!z^3}+\ldots)=
=z^2+z+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!z}+\ldots+\frac{1}{(n+2)!z^n}+\ldots,\quad z\in\mathbb{C}\backslash\{0\}.

Pierwsze 3 składniki stanowią część regularną szeregu, kolejne składają się na część osobliwą.