Term

Term – wyrażenie składające się ze zmiennych oraz symboli funkcyjnych o dowolnej argumentowości (w tym o argumentowości 0, czyli stałych) z pewnego ustalonego zbioru.

W wielu dziedzinach matematyki używa się określenia term na oznaczenie napisów (wyrażeń) formalnych które mogą być traktowane jako nazwy na obiekty matematyczne. W większości przypadków znaczenie to można przedstawić jako termy w pewnym języku pierwszego rzędu opisane poniżej.

Termy w logice matematycznej

Termy języków pierwszego rzędu

Niech $\tau$ będzie alfabetem języka pierwszego rzędu ${\mathcal L}(\tau)$. Tak więc $\tau$ jest zbiorem stałych, symboli funkcyjnych i symboli relacyjnych (predykatów). Każdy z tych symboli ma jednoznacznie określony charakter (tzn wiadomo czy jest to stała, czy symbol funkcyjny czy też predykat) i każdy z symboli funkcyjnych i predykatów ma określoną arność (która jest dodatnią liczbą całkowitą). Język ${\mathcal L}(\tau)$ ma też ustaloną nieskończoną listę zmiennych (zwykle $x_0,x_1,\ldots$).

Termy języka ${\mathcal L}(\tau)$ to elementy najmniejszego zbioru ${\bold T}$ takiego, że:

• wszystkie stałe i zmienne należą do ${\bold T}$,
• jeśli $t_1,\ldots,t_n\in {\bold T}$ i $f\in\tau$ jest $n$-arnym symbolem funkcyjnym, to $f(t_1,\ldots,t_n)\in {\bold T}$.

Przykłady

• Język teorii grup to ${\mathcal L}(\{*\})$ gdzie $*$ jest binarnym symbolem funkcyjnym. Przykłądami termów tego języka są:

$x_1*x_1$, oraz $x_1*(x_2*(x_1*(x_2*x_1)))$ a także $(x_1*(x_1*(x_1*(x_1*x_1))))*(x_1*(x_2*(x_1*(x_2*x_1))))$

• Język ciał uporządkowanych to ${\mathcal L}(\{+,\cdot,0,1,\leqslant\})$ gdzie $+,\cdot$ są binarnymi symbolami funkcyjnymi a $\leqslant$ jest binarnym symbolem relacyjnym. Przykładowe termy tego języka to

$1+(0+1)$,   $(1+1)\cdot( (1+1)\cdot 1)$,   $((x_1+x_2)+0)\cdot x_7$.

Języki wyższych rzędów

W analogiczny sposób wprowadza się termy w językach wyższych rzędów a także w bardziej skomplikowanych logikach.

Termy booleowskie

W teorii forsingu rozważa się termy booleowskie wprowadzane następująco. Niech ${\mathbb B}=(B,+,\cdot,\sim,{\mathbf 0},{\mathbf 1})$ będzie zupełną algebrą Boole'a. Przez indukcję po wszystkich liczbach porządkowych $\alpha$ definujemy zbiory ${\mathbf V}^{\mathbb B}_\alpha$ złożone z termów boole'owskich rangi $\alpha$:

• ${\mathbf V}^{\mathbb B}_0=\emptyset$,
• ${\mathbf V}^{\mathbb B}_\alpha=\bigcup\limits_{\beta<\alpha}{\mathbf V}^{\mathbb B}_\beta$ gdy $\alpha$ jest liczbą graniczną,
• ${\mathbf V}^{\mathbb B}_{\alpha+1}$ jest zbiorem wszystkich funkcji t których dziedzina ${\rm dom}(t)$ jest podzbiorem ${\mathbf V}^{\mathbb B}_\alpha$, a wartości należą do algebry ${\mathbb B}$.

Kładziemy też ${\mathbf V}^{\mathbb B}=\bigcup\limits_{\alpha\in{\mathbf{ON}}}{\mathbf V}^{\mathbb B}_\alpha$.

Termy booleowskie są nazwami na obiekty w rozszerzeniach generycznych modeli terii mnogości w tym sensie, że każdy element rozszerzenia jest interpretacją pewnego termu przez filtr generyczny.

Termy w informatyce

W sztucznej inteligencji term służy do reprezentowania bytów w programowaniu w Logice (na przykład w języku Prolog).

Często spotykaną interpretacją termu jest drzewo etykietowane.