Trójkąt Pascala

Trójkąt Pascala – trójkątna tablica liczb:

 0                     1
 1                   1   1
 2                 1   2   1
 3               1   3   3   1
 4             1   4   6   4   1
 5           1   5   10  10   5   1
 6         1   6   15  20  15   6   1
 7       1   7   21  35  35   21  7   1
 8     1   8   28  56  70  56   28  8   1
 9   1   9  36   84  126 126  84  36  9   1
      . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Każda liczba w trójkącie jest sumą dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio nad nią

Na bokach trójkąta znajdują się liczby 1, a pozostałe powstają jako suma dwóch bezpośrednio znajdujących się nad nią. Liczby stojące w n-tym wierszu to kolejne współczynniki dwumianu Newtona - rozwinięcia $(a+b)^n\,$. Na przykład:

• $(a+x)^3=a^3+3a^2x+3ax^2+x^3\,$ w trzecim wierszu trójkąta mamy 1, 3, 3, 1.

• $(a+b)^5=1a^5b^0+5a^4b^1+10a^3b^2+10a^2b^3+5a^1b^4+1a^0b^5\,$

Inaczej: licząc miejsca w wierszu od zera, liczba stojąca na miejscu k w wierszu n jest równa ${n \choose k}$.

Przykład: W wierszu 5 na miejscu 2 stoi 10 co jest właśnie równe ${5 \choose 2}$.

Uważa się, że trójkąt ten został odkryty na przełomie XI i XII w. przez Chińczyków i niezależnie przez Omara Chajjama XI. W XVII w. matematyk francuski Blaise Pascal połączył studia nad prawdopodobieństwem z tym trójkątem, osiągając tak znakomite wyniki, że trójkąt ten nazwany został trójkątem Pascala.

Własności trójkąta

• Na skrajnych bocznych (zerowy) rzędach trójkąta są jedynki.
• W kolejnym (pierwszym) skrajnym bocznym rzędzie są kolejne liczby naturalne (1, 2, 3, 4, ...).
• W drugim rzędzie różnice między sąsiednimi liczbami są kolejnymi liczbami naturalnymi (są to liczby trójkątne). Liczby trójkątne podają liczbę okręgów ułożonych w kształt trójkąta (1, 3, 6, 10, ...).
• W trzecim liczby piramidalne, podają liczbę kulek ułożonych czworościan foremny (1, 4, 10, 20, 35)
• W czwartej liczbę kul w "czworościanie" w przestrzeni czterowymiarowej.
• Uogólniając, w n tym rzędzie bocznym znajdują się liczby n-komórkowe.
• Wracając do rzędu zerowego i uogólniając możemy policzyć liczbę elementów trójkącie w przestrzeni jedno- i zerowymiarowej.

Sumy liczb w poziomych rzędach to kolejne potęgi liczby 2

• Sumy liczb w poziomych rzędach to kolejne potęgi liczby 2.
• Każdy element trójkąta zawiera liczbę różnych dróg, jakimi można do niego dotrzeć z wierzchołka poruszając się do sąsiednich elementów w lewo w dół oraz w prawo w dół.
• Po usunięciu z trójkąta wszystkich liczb parzystych pozostałe liczby nieparzyste układają się w geometryczny wzór trójkąta Sierpińskiego:

 0                     1                                      #
 1                   1   1                                  #   #
 2                 1   2   1                              #       #
 3               1   3   3   1                          #   #   #   #
 4             1   4   6   4   1                      #               #
 5           1   5  10  10   5   1                  #   #           #   #
 6         1   6  15  20  15   6   1              #       #       #       #
 7       1   7  21  35  35  21   7   1          #   #   #   #   #   #   #   #
 8     1   8  28  56  70  56   28  8   1      #                               #
 9   1   9  36  84  126 126 84  36   9   1  #   #                           #   #

Zastosowania

W genetyce w odniesieniu do genów kumulatywnych. Biorąc co drugi wiersz zaczynając od wiersza drugiego (1:2:1) trójkąt pokazuje stosunki rozszczepień w przypadku cech determinowanych przez geny kumulatywne.

Programy obliczające

Przykład prostej (ale nieekonomicznej) funkcji rekurencyjnej w języku Pascal, obliczającej element trójkąta Pascala. Wzór wynika z definicji rekurencyjnej elementów trójkąta.

${n \choose 0} = {n \choose n} = 1.$

${n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}$

function pascal(n,k:integer):integer;
begin
  if (k=0) or (k=n) then
     pascal := 1
  else
     pascal := pascal(n-1, k-1) + pascal(n-1,k);
end;

Przykład drzewa Pascala napisany w jezyku c++, n - ilosc wierszy, tablica zwraca wartosc wspolczynnika w zadanym wierszu i kolumnie

 int **trojkatPascala;
        trojkatPascala= new int *[n]; 
        for (int j=0;j<n;j++)
        { 
                trojkatPascala[j]=new int [j+1]; 
                trojkatPascala[j][0]=1;
                trojkatPascala[j][j]=1;
                for (int i = 0; i<j-1; i++) trojkatPascala[j][i+1]=trojkatPascala[j-1][i]+trojkatPascala[j-1][i+1];
        }

A oto przykład programu w Pythonie wypisującego liczby z trójkąta Pascala dla zadanej liczby rzędów:

def writeList(list):
        print (' '.join([str(l) for l in list])).center(30)
 
x = input("Podaj ilosc poziomow: ")
line = [1]
writeList(line)
for i in range(x - 1):
        nextLine = [1]
        for j in range(len(line) - 1):
                nextLine.append(line[j] + line[j + 1])
        nextLine.append(1)
        line = nextLine
        writeList(line)

Zobacz też

• kombinacja
• symbol Newtona

Linki zewnętrzne

• Praca Pascala Traité du triangle arithmétique z 1654 (po francusku) wraz z opisem w j. angielskim