Trójkąt Pascala

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Trójkąt Pascala – trójkątna tablica liczb:

 0                     1
 1                   1   1
 2                 1   2   1
 3               1   3   3   1
 4             1   4   6   4   1
 5           1   5   10  10   5   1
 6         1   6   15  20  15   6   1
 7       1   7   21  35  35   21  7   1
 8     1   8   28  56  70  56   28  8   1
 9   1   9  36   84  126 126  84  36  9   1
      . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Każda liczba w trójkącie jest sumą dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio nad nią

Na bokach trójkąta znajdują się liczby 1, a pozostałe powstają jako suma dwóch bezpośrednio znajdujących się nad nią. Liczby stojące w n-tym wierszu to kolejne współczynniki dwumianu Newtona - rozwinięcia (a+b)^n\,. Na przykład:

  • (a+x)^3=a^3+3a^2x+3ax^2+x^3\, w trzecim wierszu trójkąta mamy 1, 3, 3, 1.
  • (a+b)^5=1a^5b^0+5a^4b^1+10a^3b^2+10a^2b^3+5a^1b^4+1a^0b^5\,

Inaczej: licząc miejsca w wierszu od zera, liczba stojąca na miejscu k w wierszu n jest równa {n \choose k}.

Przykład: W wierszu 5 na miejscu 2 stoi 10 co jest właśnie równe {5 \choose 2}.

Uważa się, że trójkąt ten został odkryty na przełomie XI i XII w. przez Chińczyków i niezależnie przez Omara Chajjama XI. W XVII w. matematyk francuski Blaise Pascal połączył studia nad prawdopodobieństwem z tym trójkątem, osiągając tak znakomite wyniki, że trójkąt ten nazwany został trójkątem Pascala.

Własności trójkąta[edytuj | edytuj kod]

Sumy liczb w poziomych rzędach to kolejne potęgi liczby 2
Wyróżnione elementy trójkąta Pascala podzielne przez 3
  • Na skrajnych bocznych (zerowy) rzędach trójkąta są jedynki.
  • W kolejnym (pierwszym) skrajnym bocznym rzędzie są kolejne liczby naturalne (1, 2, 3, 4, ...).
  • W drugim rzędzie różnice między sąsiednimi liczbami są kolejnymi liczbami naturalnymi (są to liczby trójkątne). Liczby trójkątne podają liczbę okręgów ułożonych w kształt trójkąta (1, 3, 6, 10, ...).
  • W trzecim liczby piramidalne, podają liczbę kulek ułożonych czworościan foremny (1, 4, 10, 20, 35, ...).
  • W czwartej liczbę kul w "czworościanie" w przestrzeni czterowymiarowej.
  • Uogólniając, w n tym rzędzie bocznym znajdują się liczby n-komórkowe.
  • Wracając do rzędu zerowego i uogólniając możemy policzyć liczbę elementów w trójkącie w przestrzeni jedno- i zerowymiarowej.
  • Sumy liczb w poziomych rzędach to kolejne potęgi liczby 2.
  • Każdy element trójkąta zawiera liczbę różnych dróg, jakimi można do niego dotrzeć z wierzchołka poruszając się do sąsiednich elementów w lewo w dół oraz w prawo w dół.
  • Po usunięciu z trójkąta wszystkich liczb parzystych pozostałe liczby nieparzyste układają się w geometryczny wzór trójkąta Sierpińskiego. Podobna prawidłowość zachodzi także dla dowolnych liczb naturalnych:
 0                     1                                      #
 1                   1   1                                  #   #
 2                 1   2   1                              #       #
 3               1   3   3   1                          #   #   #   #
 4             1   4   6   4   1                      #               #
 5           1   5  10  10   5   1                  #   #           #   #
 6         1   6  15  20  15   6   1              #       #       #       #
 7       1   7  21  35  35  21   7   1          #   #   #   #   #   #   #   #
 8     1   8  28  56  70  56   28  8   1      #                               #
 9   1   9  36  84  126 126 84  36   9   1  #   #                           #   #
  • Suma kwadratów wszystkich elementów wiersza o numerze n (numerując od zera) jest równa środkowemu elementowi wiersza 2n.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

W genetyce w odniesieniu do genów kumulatywnych. Biorąc co drugi wiersz zaczynając od wiersza drugiego (1:2:1) trójkąt pokazuje stosunki rozszczepień w przypadku cech determinowanych przez geny kumulatywne[1].

Programy obliczające[edytuj | edytuj kod]

Przykład prostej (ale nieekonomicznej) funkcji rekurencyjnej w języku Pascal, obliczającej element trójkąta Pascala. Wzór wynika z definicji rekurencyjnej elementów trójkąta.

 {n \choose 0} = {n \choose n} = 1.
 {n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}
function pascal(n,k:integer):integer;
begin
  if (k=0) or (k=n) then
     pascal := 1
  else
     pascal := pascal(n-1, k-1) + pascal(n-1,k);
end;

Przykład drzewa Pascala napisany w języku C++, n - liczba wierszy, tablica zwraca wartość współczynnika w zadanym wierszu i kolumnie:

  long long **trojkatPascala;
  trojkatPascala= new long long *[n]; 
  for (int j=0;j<n;j++)
  { 
    trojkatPascala[j]=new long long [j+1]; 
    trojkatPascala[j][0]=1;
    trojkatPascala[j][j]=1;
 
    for (int i=0; i<j-1; i++)
      trojkatPascala[j][i+1]=trojkatPascala[j-1][i]+trojkatPascala[j-1][i+1];
  }

A oto przykład programu w Pythonie wypisującego liczby z trójkąta Pascala dla zadanej liczby rzędów:

def writeList(list):
	print (' '.join([str(l) for l in list])).center(30)
 
x = input("Podaj ilosc poziomow: ")
line = [1]
writeList(line)
for i in range(x - 1):
	nextLine = [1]
	for j in range(len(line) - 1):
		nextLine.append(line[j] + line[j + 1])
	nextLine.append(1)
	line = nextLine
	writeList(line)

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. dr Henryk St. Różański: Geny polimeryczne w Wykłady z przedmiotu: Genetyka i parazytologia lekarska. [dostęp 2011-05-20].

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]