Układ równań

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Układ równańkoniunkcja pewnej liczby (być może nieskończonej[1]) równań.

Rozwiązaniem układu równań jest każde przyporządkowanie wartości (liczb w przypadku układu równań algebraicznych, funkcji w przypadku układu równań funkcyjnych itd.) niewiadomym, które spełniają każde z równań składowych. Innymi słowy rozwiązaniem układu równań jest część wspólna zbiorów rozwiązań wszystkich tych równań.

Układ równań nazywa się sprzecznym, jeżeli nie ma on rozwiązań.

Historia[edytuj | edytuj kod]

Rozwiązywaniem układów równań zajmowano się już ponad 3000 lat temu. Najstarsze przykłady układów równań pochodzą z glinianych tabliczek, odkrytych podczas wykopalisk archeologicznych na terenie starożytnej Babilonii. Układy te są zapisane pismem klinowym, które w niczym nie przypominają współczesnej symboliki matematycznej. Jednak metody ich rozwiązywania przez starożytnych rachmistrzów niewiele różnią się od metod stosowanych dzisiaj.

Układy równań liniowych[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: układ równań liniowych.

Twierdzenie Kroneckera-Capellego pozwala rozstrzygnąć, czy dany układ równań ma rozwiązanie. Wśród metod rozwiązywania układów równań można wymienić następujące:

  • przez podstawianie (wyznaczenie jednej zmiennej z jednego równania i podstawianie do innego tak, by ostatecznie otrzymać jedno równanie),
  • przeciwnych współczynników (zmiana współczynników tak, aby po dodaniu równań stronami niektóre ze zmiennych uległy redukcji),
  • wzory Cramera,
  • metoda eliminacji Gaussa.

W przypadku układu dwóch równań liniowych z dwoma niewiadomymi możliwe przypadki pokazuje tabela:

Nazwa układu równań Rozwiązanie algebraiczne Warunek i przykład Interpretacja graficzna
Oznaczony Rozwiązaniem jest dokładnie jedna para liczb (x, y) W \not = 0,
\left \{ {x-y=4 \atop 2x+y=5} \right.
Dwie proste przecinające się
Nieoznaczony Nieskończenie wiele rozwiązań W = 0, ~ W_{x}=W_{y}=0
\left \{ {4x+5y=2 \atop 8x+10y=4} \right.
Dwie proste pokrywające się
Sprzeczny Brak rozwiązań W = 0, ~ W_{x} \not = 0 lub W_{y} \not = 0
\left \{ {x+y=3 \atop x+y=8} \right.
Dwie różne proste równoległe

Przypisy

  1. F. P. Sayer. Some Aspects of Infinite Systems of Linear Simultaneous Equations. „IMA Journal of Numerical Analysis”. 1983 3(3):333-340; doi:10.1093/imanum/3.3.333. [dostęp 6 stycznia 2009].