Układ dynamiczny
Układ dynamiczny – model matematyczny rzeczywistego zjawiska przyrody, którego ewolucja jest wyznaczona jednoznacznie przez stan początkowy; najczęściej jest opisany pewnym wektorowym równaniem różniczkowym (czyli w istocie układem równań różniczkowych zwyczajnych), zwanym równaniem stanu. Teoria układów dynamicznych stanowi ważny dział matematyki znajdujący liczne zastosowania przy opisie konkretnych zjawisk, m.in. w teorii sterowania. Układy złożone są najczęściej symulowane komputerowo.
Układ z pamięcią – układ, którego zachowanie zależy od stanu pamięci i zadanego wymuszenia.
Typy układów dynamicznych
Gładkie
(pochodzą od autonomicznych równań różniczkowych)
– zbiór z pewną strukturą różniczkowalną,
– rodzina odwracalnych przekształceń różniczkowalnych (dyfeomorfizmów) spełniających warunek .
Topologiczne
(dziedzina: dynamika topologiczna)
Niech będzie przestrzenią topologiczną oraz niech będzie odwzorowaniem. Parę nazywa się układem dynamicznym, jeżeli dla wszystkich oraz zachodzą warunki:
- ,
oraz jest odwzorowaniem ciągłym.
Interpretacja
Interpretacja tej definicji może być następująca:
Przestrzeń jest zbiorem wszystkich możliwych stanów, w których może znajdować się pewien fizyczny układ. Zbiór liczb rzeczywistych reprezentuje oś czasu. Punkt jest interpretowany jako stan układu po upływie czasu , jeżeli wiemy, iż układ ten był w chwili w stanie . Warunek drugi powyższej definicji mówi w istocie o tym, że sposób ewolucji początkowego stanu układu nie zależy od czasu, w którym ta ewolucja przebiega.
Teoriomiarowe
(dziedzina: teoria ergodyczna)
– przestrzeń z miarą (zwykle probabilistyczna), – odwzorowanie mierzalne, o którym często zakłada się, że zachowuje miarę, tzn. dla .
Przykładami takich odwzorowań są: przekształcenie piekarza[1][2][3][4][5] oraz przesunięcie w lewo dla uogólnionego schematu Bernoulliego (układu Bernoulliego), albo np.
- dla .
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Hiroshi H. Hasagawa and William C. Saphir, "Unitarity and irreversibility in chaotic systems", Physical Review A, 46, p7401 (1992)
- ↑ Ronald J. Fox, "Construction of the Jordan basis for the Baker map", Chaos, 7 p 254 (1997)
- ↑ Dean J. Driebe, Fully Chaotic Maps and Broken Time Symmetry, (1999) Kluwer Academic Publishers, Dordrecht Netherlands ISBN 0-7923-5564-4 (Exposition of the eigenfunctions the Baker's map).
- ↑ Friedrich L. Bauer, Sekrety kryptografii, Helion, 2003, ISBN 83-7197-960-6.
- ↑ B. Schweizer and A. Sklar, Foundations of Physics, Vol. 20, No. 7, 1990, s. 873