Wyznacznik Slatera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wyznacznik Slatera jest funkcją falową opisującą w przybliżeniu stan układu N fermionów.

Niech \psi_{i}(\alpha_{j}) będzie i-tą funkcją falową opisującą j-tą cząstkę. Wtedy funkcja falowa układu ma postać:

\psi(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{N}) = \frac{1}{\sqrt{N!}}\left|
\begin{matrix}
\psi_{1}(\alpha_{1}) && \psi_{1}(\alpha_{2}) && \ldots && \psi_{1}(\alpha_{N})\\
\psi_{2}(\alpha_{1}) && \psi_{2}(\alpha_{2}) && \ldots && \psi_{2}(\alpha_{N})\\
\vdots && \vdots && \ddots && \vdots\\
\psi_{N}(\alpha_{1}) && \psi_{N}(\alpha_{2}) && \ldots && \psi_{N}(\alpha_{N})\\
\end{matrix}
\right|

Powyższy zapis nazywamy właśnie wyznacznikiem Slatera.

Wyprowadzenie[edytuj | edytuj kod]

Najprostsza funkcja falowa dla dwóch cząstek to iloczyn funkcji jednocząstkowych:

\psi(\alpha_{1}, \alpha_{2})=\psi_{1}(\alpha_{1})\psi_{2}(\alpha_{2})\,

Jednak taka funkcja nie jest prawidłową funkcją falową dla fermionów, bo nie jest antysymetryczna, tzn. nie spełnia

\psi(\alpha_{1}, \alpha_{2})=-\psi(\alpha_{2}, \alpha_{1}) \,

To oznacza, że funkcja w postaci iloczynowej nie jest zgodna z regułą Pauliego. Prawidłowa funkcja dwucząstkowa ma postać:


\psi(\alpha_{1}, \alpha_{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\{\psi_{1}(\alpha_{1})\psi_{2}(\alpha_{2}) - \psi_{2}(\alpha_{1})\psi_{1}(\alpha_{2})\}

Ta funkcja jest antysymetryczna, a kiedy obie funkcje jednocząstkowe są takie same, jest równa zero. Oznacza to, że jest zgodna z regułą Pauliego.

Uogólnienie[edytuj | edytuj kod]

Uogólniając to rozumowanie dla dowolnej liczby fermionów, otrzymujemy funkcję, którą da się zapisać w postaci wyznacznika. Widać, że ma ona wymagane własności: jest całkowicie antysymetryczna i znika, gdy dwie funkcje falowe są takie same (bo wtedy otrzymujemy dwie takie same kolumny w wyznaczniku co oznacza, że automatycznie przyjmuje on zerową wartość). Dzięki temu, że na tej drodze eliminowane są wszystkie funkcje symetryczne względem permutacji pary elektronów reguła Pauliego nie jest łamana. W ogólności wyznacznik Slatera jest definiowany jako antysymetryczny tensor wyznaczany przy pomocy rozwinięcia Laplace'a

Nazwa tej funkcji pochodzi od nazwiska amerykańskiego fizyka Johna C. Slatera (1900-1976).

Pojedynczą funkcję falową w postaci wyznacznika Slatera stosuje się w metodzie obliczeniowej Hartree-Focka. W bardziej zaawansowanych metodach obliczeniowych konieczne jest wykorzystanie kombinacji liniowej wyznaczników Slatera.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]