Baza otoczeń

Baza otoczeń w punkcie i system otoczeń to terminy w topologii odnoszące się do specjalnych rodzin podzbiorów przestrzeni topologicznej.

Definicja

Niech $(X,\tau )$ będzie przestrzenią topologiczną, a $x\in X.$ Powiemy, że rodzina ${\mathcal {B}}$ otoczeń punktu $x$ jest bazą otoczeń w punkcie $x$ jeśli każde otoczenie $x$ zawiera element ${\mathcal {B}}.$

Równoważnie, rodzina ${\mathcal {B}}$ otoczeń punktu $x$ jest bazą otoczeń w $x$ jeśli

\forall U\in \tau \ \;{\big (}x\in U\ \Rightarrow \ (\exists V\in {\mathcal {B}})(x\in V\subseteq U){\big )}.

System otoczeń dla przestrzeni $X$ to rodzina $\{{\mathcal {B}}(x):x\in X\}$ taka, że ${\mathcal {B}}(x)$ jest bazą otoczeń w $x$ dla każdego $x\in X.$

Zauważmy, że w definicji tej nie wymaga się, by otoczenia były zbiorami otwartymi (choć będzie to zakładane w dalszym ciągu).

Dla zaznaczenia, że wszystkie elementy bazy otoczeń są zbiorami otwartymi, używa się zwrotu baza otoczeń otwartych w punkcie $x$ i podobnie dla systemów otoczeń.

Przykłady

Zbiór wszystkich otoczeń punktu $x$ jest bazą otoczeń w tym punkcie.
Jeśli $X$ jest przestrzenią dyskretną, to ${\mathcal {B}}_{d}(x)={\big \{}\{x\}{\big \}}$ jest bazą otoczeń w $x\in X.$ Jeśli $X$ jest przestrzenią antydyskretną, to ${\mathcal {B}}_{a}(x)=\{X\}$ jest bazą otoczeń w $x\in X.$
Jeśli $X$ jest przestrzenią metryczną z odległością $d$ i dla punktu $x\in X$ oraz liczby dodatniej $r>0$ położymy $B(x,r)=\{y\in X:d(x,y)<r\},$ to wtedy rodzina $\{B(x,1/n):n=1,2,3,\dots \}$ jest bazą otoczeń w $x.$

Charakteryzacja i własności

Załóżmy, że $\{{\mathcal {B}}(x):x\in X\}$ jest systemem otoczeń otwartych w przestrzeni topologicznej $X.$ Wówczas następujące warunki (BP1)-(BP3) są spełnione:

(BP1) Dla każdego

x\in X,

{\mathcal {B}}(x)\neq \emptyset

i dla każdego

U\in {\mathcal {B}}(x)

mamy że

x\in U.

(BP2) Jeśli

x\in U\in {\mathcal {B}}(y),

x,y\in X,

to istnieje

V\in {\mathcal {B}}(x)

takie że

V\subseteq U.

(BP3) Dla każdych

U_{1},U_{2}\in {\mathcal {B}}(x),

x\in X,

można znaleźć

U\in {\mathcal {B}}(x)

takie że

U\subseteq U_{1}\cap U_{2}.

Przypuśćmy, że $X$ jest niepustym zbiorem i $\{{\mathcal {B}}(x):x\in X\}$ jest systemem rodzin podzbiorów zbioru $X$ spełniającym warunki (BP1)-(BP3). Niech $\tau$ będzie rodziną wszystkich podzbiorów $X$ które mogą być przedstawione jako sumy podrodzin rodziny $\bigcup \limits _{x\in X}{\mathcal {B}}(x).$ Wówczas $\tau$ jest topologią na $X$ i $\{{\mathcal {B}}(x):x\in X\}$ jest systemem otoczeń otwartych dla tej topologii. Często mówimy wtedy, że $\tau$ jest topologią generowaną przez $\{{\mathcal {B}}(x):x\in X\}.$

Powyższa obserwacja służy za podstawę jednej z metod definiowania topologii na danym zbiorze: przez podanie bazy otoczeń w każdym punkcie. Właśnie ta metoda jest przez nas użyta do zdefiniowania płaszczyzny Niemyckiego oraz przykładu przestrzeni T₃, ale nie T_{3 1/2}.

Funkcje kardynalne

Z pojęciem bazy otoczeń związane są następujące funkcje kardynalne:

Charakter punktu $x\in X$ w przestrzeni topologicznej $X$ to najmniejsza możliwa moc bazy otoczeń w tym punkcie. Charakter punktu $x\in X$ oznaczany jest przez $\chi (x,X).$
Charakter przestrzeni $X$ jest zdefiniowany jako

\chi (X)=\sup\{\chi (x,X):x\in X\}.

Zobacz też