Bryła obrotowa

Bryła obrotowa – bryła geometryczna ograniczona powierzchnią powstałą z obrotu figury płaskiej dookoła prostej (osi obrotu). Do brył obrotowych zaliczane są m.in.:

• walec kołowy prosty,
• stożek,
• kula,
• torus,
• beczka,
• elipsoida obrotowa,
• paraboloida obrotowa,
• hiperboloida obrotowa.

Objętość i pole powierzchni bryły obrotowej

Objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót krzywej funkcji $y=f(x)$ gdzie $x\in\langle a,b\rangle$ dookoła osi x.

$V=\pi\int\limits_a^b(f(x))^2\,dx$

Pole powierzchni:

$S=2\pi\int\limits_a^b|f(x)|\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$

Gdy funkcja jest określona parametrycznie

$x=x(t),\ y=y(t);\ t\in\langle t_1,t_2\rangle$

Objętość:

$V=\pi\left|\int\limits_{t_1}^{t_2}y^2(t)x'(t)\,dt\right|$

Pole powierzchni:

$S=2\pi\int\limits_{t_1}^{t_2}|y(t)|\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,dt$

W wielu przypadkach obliczanie objętości bryły obrotowej lub pola jej powierzchni ułatwiają twierdzenia Pappusa.