Bryła obrotowa

Bryła obrotowa – bryła geometryczna ograniczona powierzchnią powstałą z obrotu figury płaskiej dookoła prostej (osi obrotu). Do brył obrotowych zaliczane są m.in.:

• walec kołowy prosty,
• stożek,
• kula,
• torus,
• beczka,
• elipsoida obrotowa,
• paraboloida obrotowa,
• hiperboloida obrotowa.

Objętość i pole powierzchni bryły obrotowej

Objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót krzywej funkcji $y=f(x)$$y=f(x)$ gdzie $x\in \langle a,b\rangle$$x\in \langle a,b\rangle$ dookoła osi x.

$V=\pi \int \limits _{a}^{b}(f(x))^{2}\,dx$$V=\pi \int \limits _{a}^{b}(f(x))^{2}\,dx$

Pole powierzchni:

$S=2\pi \int \limits _{a}^{b}|f(x)|{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx$$S=2\pi \int \limits _{a}^{b}|f(x)|{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx$

Gdy funkcja jest określona parametrycznie

$x=x(t),\ y=y(t);\ t\in \langle t_{1},t_{2}\rangle$$x=x(t),\ y=y(t);\ t\in \langle t_{1},t_{2}\rangle$

Objętość:

$V=\pi \left|\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}y^{2}(t)x'(t)\,dt\right|$$V=\pi \left|\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}y^{2}(t)x'(t)\,dt\right|$

Pole powierzchni:

$S=2\pi \int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}|y(t)|{\sqrt {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}}\,dt$$S=2\pi \int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}|y(t)|{\sqrt {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}}\,dt$

W wielu przypadkach obliczanie objętości bryły obrotowej lub pola jej powierzchni ułatwiają twierdzenia Pappusa.