Walec (bryła)

Przykład walca pochyłego. Ściany B₁ oraz B₂ to jego podstawy

Walec – w sensie szerokim (ogólnym) jest to dowolna bryła ograniczona odpowiednim zestawem trzech powierzchni:

1. zamkniętą powierzchnią walcową;
2. parą płaszczyzn równoległych do siebie, ale nie do tej powierzchni.

Te dwie płaszczyzny nazywa się płaszczyznami podstaw i definiuje się nimi inne elementy walca:

• podstawy– figury płaskie wewnątrz przekrojów powierzchni walcowej z tymi płaszczyznami;
• tworząca – odcinek między podstawami leżący na tej powierzchni walcowej.

Rodzaje

Wyróżnia się dwa rodzaje walców ze względu na kąt między płaszczyznami podstaw a tworzącą:

• jeśli te płaszczyzny są prostopadłe do tworzącej, walec nazywa się prostym. Czasem definicja walca jest zawężona tylko do tego szczególnego przypadku – podstaw prostopadłych do powierzchni bocznej;
• jeśli walec nie jest prosty, to jest nazywany pochyłym.

Podstawą walca może być dowolna figura płaska, np.:

• elipsa – tak utworzony walec nazywa się eliptycznym;
• wielokąt – taki walec nazywa się graniastosłupem, przy czym ten typ bryły ma też inną, równoważną definicję.

Kierownicą powierzchni walcowej mogą też być parabola lub hiperbola – krzywe stożkowe inne niż elipsa. Mówi się wtedy o walcu parabolicznym lub hiperbolicznym, choć to nazwy nieskończonych powierzchni, a nie brył.

Walec kołowy prosty

Walec kołowy prosty z zaznaczoną wysokością i promieniem

Jego podstawą oraz górną częścią jest koło, a jego szerokość jest w każdym miejscu taka sama. Walec ten powstaje przez obrót prostokąta wokół jednego z jego boków. Walec bywa definiowany w ten wąski sposób lub równoważnie, przez kołowe podstawy i prostokątne przekroje.

Podstawowe wzory

Niech:

• $r$ – promień podstawy walca,
• $h$ – wysokość walca.

Pole powierzchni podstawy

$P_{p}\ =\pi r^{2}$

Pole powierzchni bocznej

$P_{b}\ =2\pi rh$

Pole powierzchni całkowitej

${\begin{aligned}P_{c}\ &=2P_{p}+P_{b}=\\&=2\pi r^{2}+2\pi rh=\\&=2\pi r(r+h)\end{aligned}}$

Objętość

$V\ =\pi r^{2}h$

Opis analityczny

Przykład powierzchni walcowej w kartezjańskim układzie współrzędnych; ten przykład to powierzchnia walcowa kołowa i prosta

Bryła ta jest w pewnym kartezjańskim układzie współrzędnych opisana jako zbiór punktów $(x,y,z)$ spełniających układ nierówności:

${\begin{cases}x^{2}+y^{2}\leqslant r^{2}\\0\leqslant z\leqslant h\end{cases}}$

zaś w pewnym układzie walcowym jako zbiór punktów $(\rho ,\phi ,z)$ spełniających układ nierówności:

${\begin{cases}\rho \leqslant r\\0\leqslant z\leqslant h\end{cases}}$

gdzie $r>0$ jest promieniem walca, zaś $h>0$ – jego wysokością.

Często walcem nazywa się też powierzchnię walcową, będącą przedłużeniem w nieskończoność powierzchni bocznej walca. Jej równanie: $x^{2}+y^{2}=r^{2}.$

Zobacz też

• wielościan

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Cylinder, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-05-20].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Right Circular Cylinder, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-05-20].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Cylinder-Cylinder Intersection, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-05-20].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Cylinder Cutting, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-05-20].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Generalized Cylinder, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-05-20].
• Cylinder (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-05-20].