Butelka Kleina

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ilustracja butelki Kleina w przestrzeni trójwymiarowej.
Trzy butelki Kleina (jedna w drugiej) jako eksponat w Muzeum Nauki w Londynie
Pomnik butelki Kleina w Zamościu

Butelka Kleina – jednostronna powierzchnia (nieorientowalna rozmaitość dwuwymiarowa) bez brzegu, przykład rozmaitości topologicznej dwuwymiarowej. Opisana w 1882 przez niemieckiego matematyka Felixa Kleina.

Geneza nazwy[edytuj]

Nazwa tej powierzchni powstała najprawdopodobniej wskutek pomyłki tłumacza – w niemiec­kiej nazwie „powierzchnia Kleina” (niem. die Kleinsche Fläche) wyraz die Fläche (powierzchnia) pomylono z podobnie brzmiącym die Flasche (butelka). Ponieważ jednak nowa nazwa upowszechniła się w świecie i dobrze kojarzy się z kształtem powierzchni, przyjęła się również w Niemczech. Słowo „butelka” zostało tym łatwiej zaakceptowane, że naczynie będące jej trójwymiarowym rzutem nadaje się do przechowywania cieczy. Umiarkowanie napełnioną butelkę da się bez wylania zawartości ustawić wlotem w dół, pod warunkiem przechylania jej w odpowiednia stronę.

Topologia butelki Kleina[edytuj]

Butelkę Kleina najprościej można definiować jako prostokąt, w którym utożsamiono (sklejono) parami odpowiednie punkty przeciwległych boków, przy czym jedna para została skręcona o 180°. Na ilustracji: boki oznaczone kolorami, z uwzględ­nieniem orientacji (strzałki).

Klein Bottle Folding 1.svg

Butelkę Kleina można włożyć w przestrzeń czterowymiarową R4. Nie daje się jej jednak włożyć w przestrzeń trójwymiarową – prowadzi to do pojawienia się samoprzecięć powierzchni. Proces konstrukcji w R3 pokazuje ciąg ilustracji:

Klein Bottle Folding 2.svg
Klein Bottle Folding 3.svg Klein Bottle Folding 4.svg Klein Bottle Folding 5.svg Klein Bottle Folding 6.svg

Butelkę Kleina można też skonstruować sklejając ze sobą brzegi dwóch wstąg Möbiusa.

Charakterystyka Eulera tej powierzchni jest równa 0.

Zobacz też[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]