Butelka Kleina

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ilustracja butelki Kleina w przestrzeni trójwymiarowej.
Trzy butelki Kleina (jedna w drugiej) jako eksponat w Muzeum Nauki w Londynie
Pomnik butelki Kleina w Zamościu

Butelka Kleina – jednostronna powierzchnia (nieorientowalna rozmaitość dwuwymiarowa) bez brzegu, przykład rozmaitości topologicznej dwuwymiarowej. Opisana w 1882 przez niemieckiego matematyka Felixa Kleina.

Geneza nazwy[edytuj]

Nazwa tej powierzchni powstała najprawdopodobniej wskutek pomyłki tłumacza – w niemiec­kiej nazwie „powierzchnia Kleina” (niem. die Kleinsche Fläche) wyraz die Fläche (powierzchnia) pomylono z podobnie brzmiącym die Flasche (butelka). Ponieważ jednak nowa nazwa upowszechniła się w świecie i dobrze kojarzy się z kształtem powierzchni, przyjęła się również w Niemczech. Słowo „butelka” zostało tym łatwiej zaakceptowane, że naczynie będące jej trójwymiarowym rzutem nadaje się do przechowywania cieczy. Umiarkowanie napełnioną butelkę da się bez wylania zawartości ustawić wlotem w dół, pod warunkiem przechylania jej w odpowiednia stronę.

Topologia butelki Kleina[edytuj]

Butelka Kleina najprościej definiowana jest jako prostokąt, w którym utożsamiono (sklejono) parami odpowiednie punkty przeciwległych boków, przy czym jedna para została skręcona o 180°. Na ilustracji: boki oznaczone kolorami, z uwzględ­nieniem orientacji (strzałki).

Klein Bottle Folding 1.svg
Klein Bottle Folding 2.svg
Klein Bottle Folding 3.svg Klein Bottle Folding 4.svg
Klein Bottle Folding 5.svg Klein Bottle Folding 6.svg

Butelkę Kleina można też skonstruować ze wstęgi Möbiusa: należy utożsamić („skleić”) wszystkie punkty brzegu wstęgi (lub skleić dwie wstęgi brzegami). Odpowiada to odwrotnej kolejności sklejania boków niż pokazana na powyższych ilustracjach.

Butelka Kleina nie daje się włożyć w przestrzeń trójwymiarową – włożenie takie prowadzi do pojawienia się samoprzecięć powierzchni. Bez przecięć butelkę można włożyć w przestrzeń czterowymiarową.

Zobacz też[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]