Charakterystyka Eulera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Charakterystyka Eulera (charakterystyka Eulera-Poincare) to niezmiennik topologiczny charakteryzujący powierzchnie (rozmaitości topologiczne).

Wielościany wypukłe[edytuj]

Wprowadźmy oznaczenia:

  • W — liczba wierzchołków,
  • S — liczba ścian,
  • K — liczba krawędzi.

Charakterystykę Eulera która tradycyjnie oznacza się grecką literą i definiuje jako:

Wielościany wypukłe spełniają twierdzenie Eulera o wielościanach co oznacza, że zachodzi dla nich wzór:

Charakterystyka Eulera wielościanów wypukłych wynosi zatem 2.

Wielościany dowolne[edytuj]

Ta sama definicja (czyli ) obowiązuje także dla pozostałych wielościanów. Okazuje się, że dowolny wielościan homeomorficzny z wielościanem wypukłym ma charakterystykę równą 2. Nie jest to prawdziwe dla innych wielościanów. Np. wszystkie wielościany homeomorficzne z torusem (czyli takie, przez środek których "przechodzi jedna dziura") mają charakterystykę równą 0.

Wielotopy[edytuj]

Oznaczmy przez liczbę n-wymiarowych ścian wielościanu. W tych oznaczeniach charakterystyka Eulera wyraża się wzorem:

.

Wzór ten możemy zapisać jako:

Uogólnienie wzoru dla wielościanów w przestrzeni euklidesowej n-wymiarowej (czyli tzw. wielotopów) wygląda następująco:

.

Na przykład w przestrzeni 4-wymiarowej charakterystyka Eulera to , w 5-wymiarowej:

Powierzchnie[edytuj]

Charakterystykę Eulera powierzchni obliczamy w ten sposób, że dzielimy powierzchnię na dostatecznie małe trójkąty (dokonujemy triangulacji), a następnie wyliczamy charakterystykę odejmując liczbę krawędzi od sumy liczby trójkątów i liczby wierzchołków (np. możemy sferę podzielić na 4 trójkąty uzyskując 6 krawędzi i 4 wierzchołki).

Nazwa powierzchni Wygląd Charakterystyka Eulera
Sfera Sphere-wireframe.png 2
Torus Torus.png 0
Wstęga Möbiusa (z brzegiem) MobiusStrip-01.png 0
Butelka Kleina KleinBottle-01.png 0
Dwie sfery (niepołączone) Sphere-wireframe.pngSphere-wireframe.png 2 + 2 = 4

Dokładnie w ten sam sposób wyliczamy charakterystykę Eulera dla rozmaitości topologicznych (triangulacja może być przeprowadzana w wyższym wymiarze).