Charakterystyka Eulera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Charakterystyka Euleraniezmiennik topologiczny początkowo definiowany jedynie dla wielościanów wypukłych.

Charakterystyka Eulera[1] nazywana bywa również charakterystyką Eulera-Poincarégo[2].

Powierzchnie wielościanów wypukłych[edytuj | edytuj kod]

Najprostszy podział torusa, pozwalający obliczyć jego charakterystykę Eulera (tu ).

Wprowadźmy oznaczenia:

  • – liczba wierzchołków,
  • – liczba ścian,
  • – liczba krawędzi.

Charakterystykę Eulera, oznaczaną tradycyjnie literą dla powierzchni wielościanów wypukłych definiuje się jako:

[2]

Wielościany wypukłe spełniają twierdzenie Eulera o wielościanach, co oznacza, że zachodzi wzór:

Charakterystyka Eulera powierzchni wielościanów wypukłych wynosi zatem

Własność ta została po raz pierwszy zauważona[3] (jedynie dla brył platońskich) w 1537 roku przez Francesco Maurolico w jego nieopublikowanym manuskrypcie. Następnie, dla wielościanów wypukłych własność tę zauważył Euler. Pierwszy poprawny dowód jej prawdziwości podał Legendre[4].

Wielościany dowolne[edytuj | edytuj kod]

Ta sama definicja (czyli ) obowiązuje także dla innych wielościanów. Każda powierzchnia wielościanu homeomorficzna z powierzchnią wielościanu wypukłego ma charakterystykę równą 2. Nie jest to prawdą dla wszystkich powierzchni wielościanów: wszystkie powierzchnie wielościanów homeomorficzne z torusem (czyli takie, przez środek których „przechodzi dokładnie jedna dziura”) mają charakterystykę równą 0.

Definicja ogólna[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią topologiczną. Jej charakterystykę Eulera definiujemy jako[5]

gdzie jest rangą -tej grupy homologii (tj. -tą liczbą Bettiego) przestrzeni Definicja ta ma sens jedynie wtedy, gdy wszystkie liczby Bettiego oraz ich suma są skończone.

W przypadku, gdy jest skończonym CW-kompleksem, to jego charakterystyka Eulera jest równa

gdzie oznacza liczbę komórek wymiaru W szczególności, w przypadku kompleksów symplicjalnych oznacza liczbę -wymiarowych sympleksów.

Powierzchnie[edytuj | edytuj kod]

Aby obliczyć charakterystykę Eulera powierzchni (jak i innych, wyżej wymiarowych wielościanów) wystarczy znaleźć jej rozkład komórkowy. Np. dla sfery wystarczy jedna komórka 0-wymiarowa oraz jedna wymiaru 2. Przedstawienie sfery w postaci wielościanu wymaga co najmniej 4 ścian, 4 wierzchołków oraz 6 krawędzi.

Nazwa powierzchni Wygląd Charakterystyka Eulera
Sfera Sphere-wireframe.png 2
Torus Torus.png 0
Wstęga Möbiusa (z brzegiem) MobiusStrip-01.png 0
Butelka Kleina KleinBottle-01.png 0
Płaszczyzna rzutowa rzeczywista RomanSurfaceFrontalView.PNG 1
Dwie sfery (niepołączone) 2-spheres.png 2 + 2 = 4
niepołączonych sfer (nie dotyczy)

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

  • Jeżeli jest skończonym wielościanem, to jest równa liczbie Lefschetza identyczności[5]
  • Niech będzie skończoną kategorią. Tj. taką, że liczba morfizmów (a więc i obiektów) jest skończona. Oznaczmy przez jej obiekty. Z taką kategorią możemy stowarzyszyć macierz wymiaru gdzie jest liczbą morfizmów Jeżeli istnieją takie że
to

Powyższą sumę nazywamy charakterystyką Eulera kategorii Jest ona liczbą wymierną. Jeżeli przestrzeń klasyfikująca kategorii jest skończonym wielościanem, to jego charakterystyka Eulera jest równa[6]

Aksjomatyzacja[edytuj | edytuj kod]

Charakterystykę Eulera można zdefiniować również aksjomatycznie. Dokładniej, zredukowana charakterystyka Eulera (tj. charakterystyka minus 1) jest jedyną[7][8] całkowitoliczbową funkcją określoną na zbiorze klas homeomorfizmów skończonych wielościanów (z punktem bazowym) spełniającą warunki:

(1)

(2)

dla dowolnej pary wielościanów

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Red. Tomasz Szemberg, Konfiguracje prostych i stożkowych, Kraków 2015, Wydawnictwo Szkolne OMEGA, ​ISBN 978-83-7267-632-0​; s. 44, Definicja 9.1.
  2. a b Red. Tomasz Szemberg, Konfiguracje prostych i stożkowych, Kraków 2015, Wydawnictwo Szkolne OMEGA, ​ISBN 978-83-7267-632-0​; s. 43–48.
  3. M. Friedman, A History of Folding in Mathematics: Mathematizing the Margins.
  4. D.S. Richeson, Euler’s Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton Univ. Press (2008).
  5. a b E.H. Spanier, Topologia algebraiczna, Warszawa (1972).
  6. T. Leinster, The Euler characteristic of a category, Documenta Mathematica, 13 (2008) s. 21–49.
  7. Charakterystyka Eulera, czyli ewolucja wzoru Eulera dla wielościanów, beta-iks.pl [dostęp 2021-04-25] (pol.).
  8. Ch. Watts, On the Euler Characteristic of Polyhedra, Proc. Amer. Math. Soc. 13 (1962), 304-306.