Charakterystyka Eulera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Charakterystyka Euleraniezmiennik topologiczny charakteryzujący powierzchnie (rozmaitości topologiczne).

Charakterystyka Eulera[1] nazywana bywa również charakterystyką Eulera-Poincarégo[2].

Powierzchnie wielościanów wypukłych[edytuj]

Wprowadźmy oznaczenia:

  • W — liczba wierzchołków,
  • S — liczba ścian,
  • K — liczba krawędzi.

Charakterystykę Eulera, oznaczaną tradycyjnie literą , dla powierzchni wielościanów wypukłych definiuje się jako:

[2]

Wielościany wypukłe spełniają twierdzenie Eulera o wielościanach, co oznacza, że zachodzi wzór:

Charakterystyka Eulera powierzchni wielościanów wypukłych wynosi zatem .

Wielościany dowolne[edytuj]

Ta sama definicja (czyli ) obowiązuje także dla innych wielościanów. Każda powierzchnia wielościanu homeomorficzna z powierzchnią wielościanu wypukłego ma charakterystykę równą 2. Nie jest to prawdą dla wszystkich powierzchni wielościanów: wszystkie powierzchnie wielościanów homeomorficzne z torusem (czyli takie, przez środek których "przechodzi dokładnie jedna dziura") mają charakterystykę równą 0.

Wielotopy[edytuj]

Oznaczmy przez liczbę n-wymiarowych ścian wielościanu (por. Liczby Bettiego). W tych oznaczeniach charakterystyka Eulera dla figur płaskich i powierzchni figur trójwymiarowych wyraża się wzorem:

.

Wzór ten możemy zapisać jako:

.

Uogólnienie wzoru dla wielościanów w przestrzeni euklidesowej n-wymiarowej (czyli tzw. wielotopów) wygląda następująco:

.

Na przykład w przestrzeni trójwymiarowej charakterystyka Eulera to , w czterowymiarowej: .

Zatem charakterystyka Eulera każdego wielościanu wypukłego to , a jego powierzchni to .

Powierzchnie[edytuj]

Charakterystykę Eulera powierzchni obliczamy w ten sposób, że dzielimy powierzchnię na dostatecznie małe trójkąty (dokonujemy triangulacji), a następnie wyliczamy charakterystykę odejmując liczbę krawędzi od sumy liczby trójkątów i liczby wierzchołków (np. możemy sferę podzielić na 4 trójkąty uzyskując 6 krawędzi i 4 wierzchołki).

Nazwa powierzchni Wygląd Charakterystyka Eulera
Sfera Sphere-wireframe.png 2
Torus Torus.png 0
Wstęga Möbiusa (z brzegiem) MobiusStrip-01.png 0
Butelka Kleina KleinBottle-01.png 0
Dwie sfery (niepołączone) Sphere-wireframe.pngSphere-wireframe.png 2 + 2 = 4

Dokładnie w ten sam sposób wyliczamy charakterystykę Eulera dla rozmaitości topologicznych (triangulacja może być przeprowadzana w wyższym wymiarze).

Przypisy

  1. red. Tomasz Szemberg, Konfiguracje prostych i stożkowych, Kraków 2015, Wydawnictwo Szkolne OMEGA, ISBN 978-83-7267-632-0; s. 44, Definicja 9.1.
  2. a b red. Tomasz Szemberg, Konfiguracje prostych i stożkowych, Kraków 2015, Wydawnictwo Szkolne OMEGA, ISBN 978-83-7267-632-0; s. 43-48.