Drzewo dwumianowe (ekonomia)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Drzewo dwumianowe - model rynku, umożliwiający wycenę instrumentów pochodnych.

Mimo swojej prostoty pozwala obliczyć cenę bardzo szerokiej klasy wypłat. Jest to model dyskretny, tzn. zakłada, że ceny na rynku zmieniają się jedynie w ustalonych momentach.

Założenia[edytuj]

  • Na rynku dostępne są:
  • handel na rynku może odbywać się jedynie w określonych momentach przedziału czasowego ;
  • liczba możliwych scenariuszy dotyczących kształtowania się cen akcji w przyszłości jest skończona;
  • wysokość wypłaty (wypłat) z instrumentu pochodnego, który chcemy wycenić, zależy jedynie od kształtowania się cen akcji;
  • rynek jest pozbawiony możliwości arbitrażu, nie ma kosztów transakcyjnych, akcje są doskonale podzielne, nie ma ograniczeń krótkiej sprzedaży.

Drzewo dwumianowe jednookresowe[edytuj]

W modelu dwumianowym jednookresowym mamy , rozważamy więc wartości jedynie w dwóch punktach czasu: oraz . Zbiór możliwych scenariuszy jest dwuelementowy, modelujemy go jako przestrzeń probabilistyczną , gdzie

  • ,
  • - -ciało wszystkich podzbiorów ,
  • - miara probabilistyczna (może opisywać rzeczywiste prawdopodobieństwo lub prawdopodobieństwo subiektywne inwestora), taka że , .

Wypłatą (z instrumentu pochodnego) w modelu jednookresowym będziemy nazywać zmienną losową określoną na przestrzeni .

Proces ceny rachunku bankowego[edytuj]

Zakładamy, że środki ulokowane na rachunku bankowym w chwili przynoszą bez ryzyka stopę dochodu w chwili . Jeśli przez oznaczymy wartość w chwili jednostki ulokowanej na rachunku bankowym, mamy:

,
.

Proces ceny akcji[edytuj]

Niech oznacza cenę akcji w chwili . Zakładamy, że

,
,
,

przy czym aby rynek był wolny od arbitrażu wymagamy, żeby .

Wycena instrumentu pochodnego[edytuj]

Idea wyceny wypłaty opiera się na konstrukcji portfela replikującego, tzn. portfela składającego się z takiej ilości jednostek rachunku bankowego oraz z takiej ilości akcji, aby jego wartość w chwili była równa wysokości wypłaty . Za cenę sprawiedliwą wypłaty przyjmuje się wartość tak skonstruowanego portfela w chwili . Okazuje się, że wynika z tego następujący wzór na wycenę wypłaty :

,

gdzie zdefiniowana w następujący sposób:

,
,

jest równoważną miarą martyngałową (tzn. taką, że (zdyskontowany proces cen) jest -martyngałem).

Drzewo dwumianowe wielookresowe[edytuj]

Model jednookresowy da się uogólnić na , otrzymując model dwumianowy wielookresowy, zwany także modelem Coxa-Rossa-Rubinsteina (CRR). Zakładamy, że ceny mogą się zmieniać jedynie w momentach . W modelu tym pracujemy na przestrzeni , gdzie

  • ,
  • ,
  • (miara produktowa),

gdzie , .

Wprowadzamy ponadto filtrację reprezentującą zasób wiedzy o rynku do chwili włącznie.

Proces ceny rachunku bankowego[edytuj]

Proces ceny akcji[edytuj]

,
,

gdzie są niezależnymi zmiennymi losowymi o takim samym rozkładzie dwupunktowym: przyjmują wartość z prawdopodobieństwem oraz wartość z prawdopodobieństwem , ponadto zmienna jest -mierzalna. Innymi słowy zakładamy, że w kolejnym momencie czasu cena może zwiększyć się o czynnik bądź zredukować czynnikiem przy czym prawdopodobieństwo pójścia w górę bądź w dół jest stałe w czasie. Zasób dostępnej informacji jest wynikiem obserwacji cen akcji, możemy więc napisać

.

Można pokazać, że, podobnie jak w przypadku drzewa jednookresowego, na rynku nie ma arbitrażu wtedy i tylko wtedy gdy .

Wycena instrumentu pochodnego[edytuj]

Wypłatą będziemy nazywać zmienną losową -mierzalną.

W modelu wielookresowym bez arbitrażu również można znaleźć równoważną miarę martyngałową . Jest ona produktem miar takich jak w przypadku jednookresowym. Proces ceny wypłaty w tym modelu można przedstawić następująco: .

W szczególności, dla wypłaty postaci zachodzi wzór

,

gdzie

.

Rozszerzenia modelu[edytuj]

Możliwe jest rozszerzenie modelu CRR na następujące sposoby:

  • opuścić założenie jednakowego rozkładu zmiennych ,
  • wprowadzić zmienną w czasie stopę procentową,
  • dopuścić, aby akcja wypłacała dywidendę.

Związek z modelem Blacka-Scholesa[edytuj]

Słynny model Blacka-Scholesa jest w pewnym sensie granicą pewnych modeli CRR. -te przybliżenie modelu Blacka-Scholesa z parametrami jest -okresowym modelem CRR z parametrami , . Można pokazać, że proces , będący liniową interpolacją procesu otrzymanego w tak skonstruowanym modelu CRR zbiega słabo w przestrzeni funkcji ciągłych na odcinku do procesu spełniającego stochastyczne równanie różniczkowe

.

Bibliografia[edytuj]

  • John C. Cox, Stephen A. Ross, Mark Rubinstein. Option Pricing: A Simplified Approach.. „Journal of Financial Economics”. 7 (3). s. 229-263. 
  • Jacek Jakubowski: Modelowanie rynków finansowych. Warszawa: Script, 2006. ISBN 83-89716-06-2.