Drzewo dwumianowe (ekonomia)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Drzewo dwumianowe - model rynku umożliwiający wycenę instrumentów pochodnych; jest to model dyskretny, tzn. zakłada, że ceny na rynku zmieniają się jedynie w ustalonych momentach.

Założenia[edytuj | edytuj kod]

  • Na rynku dostępne są:
  • handel na rynku może odbywać się jedynie w określonych momentach przedziału czasowego ;
  • liczba możliwych scenariuszy dotyczących kształtowania się cen akcji w przyszłości jest skończona;
  • wysokość wypłaty (wypłat) z instrumentu pochodnego, który chcemy wycenić, zależy jedynie od kształtowania się cen akcji;
  • rynek jest pozbawiony możliwości arbitrażu, nie ma kosztów transakcyjnych, akcje są doskonale podzielne, nie ma ograniczeń krótkiej sprzedaży.

Drzewo dwumianowe jednookresowe[edytuj | edytuj kod]

W modelu dwumianowym jednookresowym mamy , rozważamy więc wartości jedynie w dwóch punktach czasu: oraz . Zbiór możliwych scenariuszy jest dwuelementowy, modelujemy go jako przestrzeń probabilistyczną , gdzie

  • ,
  • - -ciało wszystkich podzbiorów ,
  • - miara probabilistyczna (może opisywać rzeczywiste prawdopodobieństwo lub prawdopodobieństwo subiektywne inwestora) spełniająca warunek
, .

Wypłatą (z instrumentu pochodnego) w modelu jednookresowym będziemy nazywać zmienną losową określoną na przestrzeni .

Proces ceny rachunku bankowego[edytuj | edytuj kod]

Zakładamy, że środki ulokowane na rachunku bankowym w chwili przynoszą bez ryzyka stopę dochodu w chwili . Jeśli przez oznaczymy wartość w chwili jednostki ulokowanej na rachunku bankowym, mamy:

,
.

Proces ceny akcji[edytuj | edytuj kod]

Niech oznacza cenę akcji w chwili . Zakładamy, że

,
,
,

przy czym aby rynek był wolny od arbitrażu wymagamy, żeby .

Wycena instrumentu pochodnego[edytuj | edytuj kod]

Idea wyceny wypłaty opiera się na konstrukcji portfela replikującego, tzn. portfela składającego się z takiej ilości jednostek rachunku bankowego oraz z takiej ilości akcji, aby jego wartość w chwili była równa wysokości wypłaty . Za cenę sprawiedliwą wypłaty przyjmuje się wartość tak skonstruowanego portfela w chwili . Okazuje się, że wynika z tego następujący wzór na wycenę wypłaty :

,

gdzie zdefiniowana w następujący sposób:

,
,

jest równoważną miarą martyngałową (tzn. taką, że (zdyskontowany proces cen) jest -martyngałem).

Drzewo dwumianowe wielookresowe[edytuj | edytuj kod]

Model jednookresowy da się uogólnić na , otrzymując model dwumianowy wielookresowy, zwany także modelem Coxa-Rossa-Rubinsteina (CRR). Zakładamy, że ceny mogą się zmieniać jedynie w momentach . W modelu tym pracujemy na przestrzeni , gdzie

  • ,
  • ,
  • (miara produktowa),

gdzie , .

Wprowadzamy ponadto filtrację reprezentującą zasób wiedzy o rynku do chwili włącznie.

Proces ceny rachunku bankowego[edytuj | edytuj kod]

Proces ceny akcji[edytuj | edytuj kod]

,
,

gdzie są niezależnymi zmiennymi losowymi o takim samym rozkładzie dwupunktowym: przyjmują wartość z prawdopodobieństwem oraz wartość z prawdopodobieństwem , ponadto zmienna jest -mierzalna. Innymi słowy zakładamy, że w kolejnym momencie czasu cena może zwiększyć się o czynnik bądź zredukować czynnikiem przy czym prawdopodobieństwo pójścia w górę bądź w dół jest stałe w czasie. Zasób dostępnej informacji jest wynikiem obserwacji cen akcji, możemy więc napisać

.

Można pokazać, że, podobnie jak w przypadku drzewa jednookresowego, na rynku nie ma arbitrażu wtedy i tylko wtedy gdy .

Wycena instrumentu pochodnego[edytuj | edytuj kod]

Wypłatą będziemy nazywać zmienną losową -mierzalną.

W modelu wielookresowym bez arbitrażu również można znaleźć równoważną miarę martyngałową . Jest ona produktem miar takich jak w przypadku jednookresowym. Proces ceny wypłaty w tym modelu można przedstawić następująco:

.

W szczególności, dla wypłaty postaci zachodzi wzór

,

gdzie

.

Implementacja[edytuj | edytuj kod]

Krok 1

W każdym kroku (wierzchołku drzewa) cena akcji idzie albo w górę razy albo w dół razy, przy i ). Jeżeli zatem oznacza aktualną cenę akcji, to w następnym wierzchołku cena ta będzie wynosić albo albo .

Współczynniki i wyznaczane sa w oparciu o współczynnik zmienności , oraz interwał czasowy pomiędzy kolejnymi wierzchołkami. Z założenia mówiącego, że wariancja logarytmu ceny akcji w chwili wynosi , wnioskujemy, że

W szczególności, cena instrumentu jest taka sama gdy na pewnym kroku idzie ona w górę a później w dół bądź odwrotnie; rzeczona cecha modelu znacząco poprawia wydajność obliczeniową z uwagi na zredukowaną liczbę rozważanych ścieżek. Ostatecznie

,

gdzie i oznaczają, odpowiednio, liczbę wierzchołków w których cena instrumentu poszła do góry bądź w dół.

Krok 2

W ostatnim wierzchołku drzewa, tj. wierzchołku w którym dokonowyana jest wycena instrumentu, jego wartość wynosi odpowiednio

, dla opcji kupna,
, dla opcji sprzedaży,

gdzie oznacza cenę wykonania.

Krok 3

Proces wyceny odbywa się niejako wstecz rozpoczynając od ostatniego wierzchołka a skończywszy na pierwszym; jest to szukana wycena instrumentu finansowego.

Pod założeniem istnienia miary obojętnej na ryzyko, sprawiedliwa cena instrumentu równa jest wartości oczekiwanej przyszłych wypłat zdyskontowanych przez stopę oprocentowania wolną od ryzyka. Dokładniej,

gdzie

ceną instrumentu na -tym wierzchołku w chwili ,

jest tak dobranym prawdopodobieństwem by odpowiadający mu rozkład dwumianowy aproksymował geometryczny ruch Browna (z parametrami r and σ) opisujący fluktaję cen,

jest stopą dywidendy z instrumentu finansowego. Pod założeniem istnienia miary obojętnej na ryzyko, ceny w przyszłości powinny mieć zerową spodziewaną stopę wzrostu, a więc często przyjmuje się dla kontraktów futures.

Rozszerzenia modelu[edytuj | edytuj kod]

Możliwe jest rozszerzenie modelu CRR na następujące sposoby:

  • opuścić założenie jednakowego rozkładu zmiennych ,
  • wprowadzić zmienną w czasie stopę procentową,
  • dopuścić, aby akcja wypłacała dywidendę.

Związek z modelem Blacka-Scholesa[edytuj | edytuj kod]

Słynny model Blacka-Scholesa jest w pewnym sensie granicą pewnych modeli CRR. -te przybliżenie modelu Blacka-Scholesa z parametrami jest -okresowym modelem CRR z parametrami

, .

Można pokazać, że proces , będący liniową interpolacją procesu otrzymanego w tak skonstruowanym modelu CRR zbiega słabo w przestrzeni funkcji ciągłych na odcinku do procesu spełniającego stochastyczne równanie różniczkowe

.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • John C. Cox, Stephen A. Ross, Mark Rubinstein. Option Pricing: A Simplified Approach.. „Journal of Financial Economics”. 7 (3). s. 229-263. 
  • Jacek Jakubowski: Modelowanie rynków finansowych. Warszawa: Script, 2006. ISBN 83-89716-06-2.