Drzewo dwumianowe (ekonomia)

Drzewo dwumianowe – model rynku umożliwiający wycenę instrumentów pochodnych; jest to model dyskretny, tzn. zakłada, że ceny na rynku zmieniają się jedynie w ustalonych momentach.

Założenia

• Na rynku dostępne są:
  • rachunek bankowy przynoszący bez ryzyka stałą stopę dochodu;
  • instrument ryzykowny (akcja) o nieznanej wartości w przyszłości;
• handel na rynku może odbywać się jedynie w określonych momentach $0=t_{0},t_{1},\dots ,t_{n}=T$ przedziału czasowego $[0,T];$
• liczba możliwych scenariuszy dotyczących kształtowania się cen akcji w przyszłości jest skończona;
• wysokość wypłaty (wypłat) z instrumentu pochodnego, który chcemy wycenić, zależy jedynie od kształtowania się cen akcji;
• rynek jest pozbawiony możliwości arbitrażu, nie ma kosztów transakcyjnych, akcje są doskonale podzielne, nie ma ograniczeń krótkiej sprzedaży.

Drzewo dwumianowe jednookresowe

W modelu dwumianowym jednookresowym mamy $n=1,$ rozważamy więc wartości jedynie w dwóch punktach czasu: $t_{0}=0$ oraz $t_{1}=T.$ Zbiór możliwych scenariuszy jest dwuelementowy, modelujemy go jako przestrzeń probabilistyczną $(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathsf {P}}),$ gdzie

• $\Omega =\{\omega _{u},\omega _{d}\},$
• ${\mathcal {F}}=2^{\Omega }$ – $\sigma$-ciało wszystkich podzbiorów $\Omega ,$
• ${\mathsf {P}}$ – miara probabilistyczna (może opisywać rzeczywiste prawdopodobieństwo lub prawdopodobieństwo subiektywne inwestora) spełniająca warunek

${\mathsf {P}}(\{\omega _{u}\})=p>0,$ ${\mathsf {P}}(\{\omega _{d}\})=1-p.$

Wypłatą (z instrumentu pochodnego) w modelu jednookresowym będziemy nazywać zmienną losową $X$ określoną na przestrzeni $\Omega .$

Proces ceny rachunku bankowego

Zakładamy, że środki ulokowane na rachunku bankowym w chwili $0$ przynoszą bez ryzyka stopę dochodu $r$ w chwili $T.$ Jeśli przez $B_{t}$ oznaczymy wartość w chwili $t$ jednostki ulokowanej na rachunku bankowym, mamy:

$B_{0}=1,$

$B_{T}(\omega _{u})=B_{T}(\omega _{d})=1+r.$

Proces ceny akcji

Niech $S_{t}$ oznacza cenę akcji w chwili $t.$ Zakładamy, że

$S_{0}=s>0,$

$S_{T}(\omega _{u})=S_{0}u,$

$S_{T}(\omega _{d})=S_{0}d,$

przy czym aby rynek był wolny od arbitrażu wymagamy, żeby $d<1+r<u.$

Wycena instrumentu pochodnego

Idea wyceny wypłaty opiera się na konstrukcji portfela replikującego, tzn. portfela składającego się z takiej ilości jednostek rachunku bankowego oraz z takiej ilości akcji, aby jego wartość w chwili $T$ była równa wysokości wypłaty $X.$ Za cenę sprawiedliwą wypłaty przyjmuje się wartość tak skonstruowanego portfela w chwili $0.$ Okazuje się, że wynika z tego następujący wzór na wycenę wypłaty $X{:}$

$\Pi (X)={\frac {1}{1+r}}{\mathsf {E}}_{{\mathsf {P}}^{*}}(X),$

gdzie ${\mathsf {P}}^{*}$ zdefiniowana w następujący sposób:

${\mathsf {P}}^{*}(\{\omega _{u}\})={\frac {(1+r)-d}{u-d}},$

${\mathsf {P}}^{*}(\{\omega _{d}\})={\frac {u-(1+r)}{u-d}},$

jest równoważną $P$ miarą martyngałową (tzn. taką, że $\left\{{\frac {S_{k}}{B_{k}}}\right\}_{k=0,1}$ (zdyskontowany proces cen) jest ${\mathsf {P}}^{*}$-martyngałem).

Drzewo dwumianowe wielookresowe

Model jednookresowy da się uogólnić na $n>1,$ otrzymując model dwumianowy wielookresowy, zwany także modelem Coxa-Rossa-Rubinsteina (CRR). Zakładamy, że ceny mogą się zmieniać jedynie w momentach $1,2,\dots ,n.$ W modelu tym pracujemy na przestrzeni $(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathsf {Q}}),$ gdzie

• $\Omega =\{\omega _{u},\omega _{d}\}^{n},$
• ${\mathcal {F}}=2^{\Omega },$
• ${\mathsf {Q}}={\mathsf {P}}^{\otimes n}$ (miara produktowa),

gdzie ${\mathsf {P}}(\{\omega _{u}\})=p>0,$ ${\mathsf {P}}(\{\omega _{d}\})=1-p.$

Wprowadzamy ponadto filtrację $\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t=0,1,\dots ,n}$ reprezentującą zasób wiedzy o rynku do chwili $t$ włącznie.

Proces ceny rachunku bankowego

$B_{t}=(1+r)^{t}$

Proces ceny akcji

$S_{0}=s>0,$

$S_{t+1}=S_{t}Z_{t+1},$

gdzie $Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{n}$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o takim samym rozkładzie dwupunktowym: przyjmują wartość $u$ z prawdopodobieństwem $p$ oraz wartość $d$ z prawdopodobieństwem $1-p,$ ponadto zmienna $Z_{i}$ jest ${\mathcal {F}}_{i}$-mierzalna. Innymi słowy zakładamy, że w kolejnym momencie czasu cena może zwiększyć się o czynnik $u$ bądź zredukować czynnikiem $d$ przy czym prawdopodobieństwo pójścia w górę bądź w dół jest stałe w czasie. Zasób dostępnej informacji jest wynikiem obserwacji cen akcji, możemy więc napisać

${\mathcal {F}}_{t}=\sigma (\{S_{s}\colon s\leqslant t\}).$

Można pokazać, że, podobnie jak w przypadku drzewa jednookresowego, na rynku nie ma arbitrażu wtedy i tylko wtedy gdy $d<1+r<u.$

Wycena instrumentu pochodnego

Wypłatą będziemy nazywać zmienną losową ${\mathcal {F}}_{T}$-mierzalną.

W modelu wielookresowym bez arbitrażu również można znaleźć równoważną miarę martyngałową ${\mathsf {Q}}^{*}.$ Jest ona produktem miar ${\mathsf {P}}^{*}$ takich jak w przypadku jednookresowym. Proces ceny wypłaty $X$ w tym modelu można przedstawić następująco:

$\Pi _{t}(X)={\frac {1}{(1+r)^{(T-t)}}}{\mathsf {E}}_{{\mathsf {Q}}^{*}}(X|{\mathcal {F}}_{t}).$

W szczególności, dla wypłaty postaci $X=f(S_{T})$ zachodzi wzór

$\Pi _{t}(X)={\frac {1}{(1+r)^{(T-t)}}}\sum _{i=0}^{t}{{T-t} \choose i}p_{*}^{i}(1-p_{*})^{(T-t-i)}f(S_{t}u^{i}d^{(T-t-i)}),$

gdzie:

$p_{*}={\frac {(1+r)-d}{u-d}}.$

Implementacja

Krok 1

W każdym kroku (wierzchołku drzewa) cena akcji idzie albo w górę $u$ razy albo w dół $d$ razy, przy $u\geqslant 1$ i $0<d\leqslant 1.$ Jeżeli zatem $S$ oznacza aktualną cenę akcji, to w następnym wierzchołku cena ta będzie wynosić albo $S_{up}=S\cdot u$ albo $S_{down}=S\cdot d.$

Współczynniki $u$ i $d$ wyznaczane są w oparciu o współczynnik zmienności $\sigma ,$ oraz interwał czasowy $t$ pomiędzy kolejnymi wierzchołkami. Z założenia mówiącego, że wariancja logarytmu ceny akcji w chwili $t$ wynosi $\sigma ^{2}t,$ wnioskujemy, że

$u=e^{\sigma {\sqrt {t}}},$

$d=e^{-\sigma {\sqrt {t}}}={\frac {1}{u}}.$

W szczególności, cena instrumentu jest taka sama gdy na pewnym kroku idzie ona w górę a później w dół bądź odwrotnie; rzeczona cecha modelu znacząco poprawia wydajność obliczeniową z uwagi na zredukowaną liczbę rozważanych ścieżek. Ostatecznie

$S_{n}=S_{0}\cdot u^{N_{u}-N_{d}},$

gdzie $N_{u}$ i $N_{d}$ oznaczają, odpowiednio, liczbę wierzchołków w których cena instrumentu poszła do góry bądź w dół.

Krok 2

W ostatnim wierzchołku drzewa, tj. wierzchołku w którym dokonywana jest wycena instrumentu, jego wartość wynosi odpowiednio

$\max\{S_{n}-K,0\},$ dla opcji kupna,

$\max\{K-S_{n},0\},$ dla opcji sprzedaży,

gdzie $K$ oznacza cenę wykonania.

Krok 3

Proces wyceny odbywa się niejako wstecz, rozpoczynając od ostatniego wierzchołka, a skończywszy na pierwszym; jest to szukana wycena instrumentu finansowego.

Pod założeniem istnienia miary obojętnej na ryzyko, sprawiedliwa cena instrumentu równa jest wartości oczekiwanej przyszłych wypłat zdyskontowanych przez stopę oprocentowania wolną od ryzyka. Dokładniej,

$C_{t-\Delta t,i}=e^{-r\Delta t}(pC_{t,i+1}+(1-p)C_{t,i-1}),$

gdzie:

$C_{t,i}$ ceną instrumentu na $i$-tym wierzchołku w chwili $t,$

$p={\frac {e^{(r-q)\Delta t}-d}{u-d}}$

jest tak dobranym prawdopodobieństwem by odpowiadający mu rozkład dwumianowy aproksymował geometryczny ruch Browna (z parametrami $r$ and $\sigma$) opisujący fluktuację cen,

$q$ jest stopą dywidendy z instrumentu finansowego. Pod założeniem istnienia miary obojętnej na ryzyko, ceny w przyszłości powinny mieć zerową spodziewaną stopę wzrostu, a więc często przyjmuje się $q=r$ dla kontraktów futures.

Rozszerzenia modelu

Możliwe jest rozszerzenie modelu CRR na następujące sposoby:

• opuścić założenie jednakowego rozkładu zmiennych $Z_{i},$
• wprowadzić zmienną w czasie stopę procentową,
• dopuścić, aby akcja wypłacała dywidendę.

Związek z modelem Blacka-Scholesa

Słynny model Blacka-Scholesa jest w pewnym sensie granicą pewnych modeli CRR. $n$-te przybliżenie modelu Blacka-Scholesa z parametrami $r,\sigma ,T$ jest $n$-okresowym modelem CRR z parametrami

$u=e^{\sigma {\sqrt {\delta }}_{n}},$ $d={\frac {1}{u}}=e^{-\sigma {\sqrt {\delta }}_{n}}.$

Można pokazać, że proces $\{{S}_{t}^{n}\}_{0\leqslant t\leqslant T},$ będący liniową interpolacją procesu otrzymanego w tak skonstruowanym modelu CRR zbiega słabo w przestrzeni funkcji ciągłych na odcinku $[0,T]$ do procesu $\{S_{t}\}_{0\leqslant t\leqslant T}$ spełniającego stochastyczne równanie różniczkowe

$\mathrm {d} S_{t}=rS_{t}\,\mathrm {d} t+\sigma S_{t}\,\mathrm {d} W_{t}.$

Bibliografia

• John C. Cox, Stephen A. Ross, Mark Rubinstein. Option Pricing: A Simplified Approach. „Journal of Financial Economics”. 7 (3). s. 229–263. 
• Jacek Jakubowski: Modelowanie rynków finansowych. Warszawa: Script, 2006. ISBN 83-89716-06-2.brak strony w książce