Funkcja Greena

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja Greena, propagator - funkcja stanowiąca jądro operatora całkowego, będącego odwrotnym do operatora różniczkowego w zwyczajnym bądź cząstkowym równaniu różniczkowym wraz z warunkami początkowymi lub brzegowymi.

Formalizm funkcji Greena pozwala sprowadzić problem rozwiązania równania różniczkowego do analogicznego problemu rozwiązania równania całkowego.

Funkcje nazwane są na cześć angielskiego matematyka i fizyka, George’a Greena.

Funkcje Greena w mechanice kwantowej[edytuj]

Szczególna rolę funkcje Greena odgrywają w mechanice kwantowej układów wielu cząstek i kwantowej mechanice statystycznej. Stanowią one standardowe narzędzie teorii układów wielu cząstek. Ich szczególna rola wynika stąd, że istnieją bezpośrednie relacje pomiędzy funkcjami Greena a wartościami mierzalnymi w eksperymentach, czyli wielkości obserwowane w doświadczeniach bardzo często stanowią prostą kombinację funkcji Greena.

Funkcje Greena stosowane w fizyce nazywa się często funkcjami korelacji.

Rodzaje jednocząstkowych funkcji Greena[edytuj]

Wyróżnia się następujące typy funkcji

  • funkcja kauzalna (przyczynowa)
  • funkcja antykauzalna
  • funkcja retardowana
  • funkcja adwansowana
  • funkcja (określana czasem jako G większe)
  • funkcja (określana czasem jako G mniejsze)

W powyższych wzorach operator oznacza uporządkowanie chronologiczne operatorów, oznacza uporządkowanie antychronologiczne, operatory oznaczają zależne od czasu operatory kreacji i anihilacji cząstek (przy czym indeks 1,2 oznacza zależność od położenia lub pędu oraz czasu), czas w funkcjach retardowanej i adwansowanej , nawias oznacza antykomutator/komutator odpowiednio dla fermionów/bozonów, natomiast jest wartością oczekiwaną, bądź odpowiednią dla rozważanego zagadnienia kwantową suma termodynamiczna.

Powyższe definicje nie są jedynymi możliwymi. Istnieje dużo konwencji, a przykłady te służą jedynie pokazaniu podstawowych różnic pomiędzy różnymi typami funkcji Greena.

Formalizm Matsubary dla funkcji Greena[edytuj]

Dla skończenietemperaturowych funkcji Greena (czyli dla układów, w których temperatury są nierówne zero) wprowadza się formalizm Matsubary. Funkcje Greena w skończonych temperaturach są kwantowymi średnimi termodynamicznymi, w których występuje dodatkowy czynnik , gdzie , jest stałą Boltzmana, T temperaturą hamiltonianem układu. Nie jest to jedyne miejsce, gdzie występuje operator - jest on także obecny w ewolucji czasowej operatorów kreacji i anihilacji (czynnik ). Przy iloczynie tych czynników można byłoby je połączyć przyjmując, że

  1. jest urojona i mamy do czynienia z ewolucją (poza zwykłą ewolucją czasową) dodatkową ewolucją w urojonym czasie o długości β;
  2. traktujemy czas jako urojoną temperaturę ().

Metoda Matsubary[1] opiera się na drugiej możliwości. Okazuje się, że wtedy jednocząstkowe funkcje Greena posiadają własności periodyczności/antyperiodyczności dla bozonów/fermionów. W związku z tym funkcje te można przedstawić przez szeregi Fouriera, w których zostają częstości nieparzyste/parzyste dla fermionów/bozonów. Wtedy obliczenie funkcji Greena sprowadza się do wykonania odpowiednich sum po częstościach.

Retardowane funkcje Greena otrzymujemy z funkcji w częstościach dokonując kontynuacji analitycznej, co sprowadza się do podstawienia dla funkcji retardowanej .

Przypisy