Komutator (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: inne znaczenia tego terminu.

Komutator – wskaźnik stopnia nieprzemienności pewnego działania dwuargumentowego. Definicje w teorii grup oraz teorii pierścieni różnią się między sobą.

Teoria grup[edytuj]

Komutator dwóch elementów i należących do grupy to element

.

Jest on równy jedynce grupy wtedy i tylko wtedy, gdy i komutują (czyli są przemienne, tzn. ). Podgrupa grupy generowana przez wszystkie komutatory nazywana jest komutantem grupy . Warto zauważyć, że należy rozważać podgrupę generowaną przez zbiór komutatorów, ponieważ w ogólności nie jest on zamknięty ze względu na działanie grupowe. Komutatory stosuje się w definicjach grup nilpotentnych i rozwiązalnych.

Uwaga 
Powyższa definicja komutatora służy przede wszystkim matematykom badającym teorię grup. Wielu innych matematyków definiuje komutator jako
.

Tożsamości[edytuj]

W tej sekcji wyrażenie oznacza sprzężony (przez ) element .

  • .
  • .
  • .
  • .

Druga z tożsamości znana jest jako tożsamość Halla-Witta, która jest teoriogrupowym analogonem tożsamości Jacobiego komutatora z teorii pierścieni (zob. następna sekcja). Czwarta równość wynika z pierwszej i trzeciej.

Uwaga 
Powyższa definicja sprzężenia przez używana jest przez badaczy teorii grup. Wielu innych matematyków definiuje sprzężenie przez jako , zwykle zapisuje się to jako .

Teoria pierścieni[edytuj]

Komutator dwóch elementów i pierścienia lub algebry łącznej zdefiniowany jest jako

.

Ma on wartość zero wtedy i tylko wtedy, gdy i są przemienne (komutują). W algebrze liniowej jeżeli dwa endomorfizmy przestrzeni są reprezentowane przez komutujące macierze względem jednej bazy, to są one tak reprezentowane w każdej bazie.

Zastosowanie komutatora jako nawiasu Liego umożliwia przekształcenie dowolnej algebry łącznej w algebrę Liego.

Tożsamości[edytuj]

Komutator ma następujące własności:

Wzory dla algebr Liego:

  • ,
  • ,
  • .

Druga relacja nazywana jest antyprzemiennością, a trzecia znana jest jako tożsamość Jacobiego.

Dodatkowe wzory:

  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
  • .

Jeżeli jest ustalonym elementem pierścienia , pierwszy dodatkowy wzór może być interpretowany jako reguła Leibniza dla odwzorowania danego wzorem . Innymi słowy, odwzorowanie definiuje różniczkowanie w pierścieniu .

Użyteczna jest również następująca tożsamość komutatorowa będąca przypadkiem szczególnym wzoru Bakera-Cambella-Hausdorffa:

  • .

Przykład[edytuj]

Niech dane będą dwa operatory: różniczkowy , który przekształca funkcję w jej pochodną oraz , który przekształca funkcję w iloczyn niej samej i jej argumentu.

Badanie nieprzemienności tych operatorów na niezerującej się funkcji różniczkowalnej przebiega jak następuje:

  • , ponieważ ,
  • .

Odjęcie tych równań stronami daje:

,
.

Po wyłączeniu poza nawias i podzieleniu przez jest

,
, czyli .

Stąd wynik zastosowania obu operatorów i na funkcję zależy od ich kolejności, na co wskazuje również komutator równy jedności.

Pierścienie i algebry z gradacją[edytuj]

Podczas badania algebr z gradacją komutator zastępuje się zwykle komutatorem z gradacją definiowanym w języku składowych jednorodnych jako .

Różniczkowania[edytuj]

Szczególnie jeżeli w grę wchodzi posługiwanie się wieloma komutatorami, użyteczny okazuje się być inny zapis korzystający z reprezentacji sprzężeniowej

.

Wówczas jest różniczkowaniem, a jest liniowe, np. oraz i homomorfizmem algebry Liego, np. , ale nie zawsze jest homomorfizmem algebr, np. tożsamość w ogólności nie zachodzi.

Przykłady:

  • .
  • .

Komutator w fizyce[edytuj]

Komutator jest często używany fizyce kwantowej:

Antykomutator[edytuj]

Antykomutator lub definiowany jest jako . Przy stosowaniu oznaczenia z plusem zwykle komutator oznacza się odpowiednio znakiem minus .

Z oznaczenia tego korzysta się w fizyce dla operatorów kreacji i anihilacji cząstek o spinie połówkowym (fermionach). Operatory te spełniają reguły antykomutacji, co związane jest z zakazem Pauliego mówiącym, że dany stan nie może być obsadzony przez dwie różne cząstki, tzn. .

Operatory kreacji i anihilacji cząstek o spinie całkowitym (bozonów) spełniają reguły komutacji.

W rachunkach w fizyce, w których używane są komutatory i antykomutatory stosuje się zapis wariantowy z symbolem plus/minus lub minus/plus przy nawiasie kwadratowym odnosząc rachunki odpowiednio do antykomutatorów/komutatorów dla fermionów/bozonów.

W kwantowej teorii pola dla pól fermionowych stosuje się reguły antykomutacyjne oraz liczby Grassmana, czyli liczby rozpinające algebrę, w której generatory antykomutują (są antyprzemienne) między sobą oraz komutują (są przemienne) ze zwykłymi liczbami.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]