Grupa multyplikatywna

• w teorii grup: grupa w zapisie multyplikatywnym – grupa, w której działanie grupowe zapisywane jest za pomocą znaku $\cdot$, branie elementu odwrotnego przez ^-1, element neutralny zaś oznaczony jest przez $1$;
• w teorii pierścieni, ciał, algebr grupa multyplikatywna $(R^*,\cdot)$ pierścienia, ciała, algebry łącznej $R$ to zbiór elementów odwracalnych pierścienia, ciała, algebry łącznej z działaniem mnożenia; często używane oznaczenia: $R^*$, $R^{\cdot}$, $U(R)$;

  $R^* = \{x\in R: \exists_{y\in R}\left[ xy=1 \right]\}$;

$R$ jest pierścieniem z dzieleniem (algebrą łączną z dzieleniem) wtedy i tylko wtedy, gdy $R^* = R\setminus\{0\}$; w przeciwnym razie zbiór $R^*$ jest mniejszy, np. $\mathbb{Z}^* = \{1,-1\}$;

• algebraiczny torus $GL_1$ jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego pojęcia snopa $\mathbb{G}_m$, ale pojawia się często poza geometrią algebraiczną pod nazwą grupa multyplikatywna; jest rozmaitością grupową.
• w geometrii algebraicznej: snop grup abelowych $\mathbb{G}_m$ reprezentowany przez schemat grupowy $\mathrm{Spec}\mathbb{Z}\left[X,X^{-1}\right]$; grupą przekrojów tego snopa nad afinicznym zbiorem otwartym $\mathrm{Spec}R$ jest grupa homomorfizmów pierścieni $\mathbb{Z}\left[X,X^{-1}\right]\rightarrow R$; ta grupa jest naturalnie izomorficzna z grupą $R^*$: homomorfizmowi $f:\mathbb{Z}\left[X,X^{-1}\right]\rightarrow R$ odpowiada jednoznacznie element $f(X)$, przy czym $f(X)f(X^{-1})=1$;

Sam schemat $\mathrm{Spec}\mathbb{Z}\left[X,X^{-1}\right]$ też jest nazywany grupą multyplikatywną.

Zobacz też

• grupa
• grupa addytywna
• multyplikatywna grupa klas reszt