Grupa multyplikatywna

• w teorii grup: grupa w zapisie multyplikatywnym – grupa, w której działanie grupowe zapisywane jest za pomocą znaku $\cdot$$\cdot$, branie elementu odwrotnego przez ^-1, element neutralny zaś oznaczony jest przez $1$$1$;
• w teorii pierścieni, ciał, algebr grupa multyplikatywna $(R^{*},\cdot )$$(R^{*},\cdot )$ pierścienia, ciała, algebry łącznej $R$$R$ to zbiór elementów odwracalnych pierścienia, ciała, algebry łącznej z działaniem mnożenia; często używane oznaczenia: $R^{*}$$R^{*}$, $R^{\cdot }$$R^{\cdot }$, $U(R)$$U(R)$;

  $R^{*}=\{x\in R:\exists _{y\in R}\left[xy=1\right]\}$$R^{*}=\{x\in R:\exists _{y\in R}\left[xy=1\right]\}$;

$R$$R$ jest pierścieniem z dzieleniem (algebrą łączną z dzieleniem) wtedy i tylko wtedy, gdy $R^{*}=R\setminus \{0\}$$R^{*}=R\setminus \{0\}$; w przeciwnym razie zbiór $R^{*}$$R^{*}$ jest mniejszy, np. $\mathbb {Z} ^{*}=\{1,-1\}$$\mathbb {Z} ^{*}=\{1,-1\}$;

• algebraiczny torus $GL_{1}$$GL_{1}$ jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego pojęcia snopa $\mathbb {G} _{m}$$\mathbb {G} _{m}$, ale pojawia się często poza geometrią algebraiczną pod nazwą grupa multyplikatywna; jest rozmaitością grupową.
• w geometrii algebraicznej: snop grup abelowych $\mathbb {G} _{m}$$\mathbb {G} _{m}$ reprezentowany przez schemat grupowy $\mathrm {Spec} \mathbb {Z} \left[X,X^{-1}\right]$$\mathrm {Spec} \mathbb {Z} \left[X,X^{-1}\right]$; grupą przekrojów tego snopa nad afinicznym zbiorem otwartym $\mathrm {Spec} R$$\mathrm {Spec} R$ jest grupa homomorfizmów pierścieni $\mathbb {Z} \left[X,X^{-1}\right]\rightarrow R$$\mathbb {Z} \left[X,X^{-1}\right]\rightarrow R$; ta grupa jest naturalnie izomorficzna z grupą $R^{*}$$R^{*}$: homomorfizmowi $f:\mathbb {Z} \left[X,X^{-1}\right]\rightarrow R$$f:\mathbb {Z} \left[X,X^{-1}\right]\rightarrow R$ odpowiada jednoznacznie element $f(X)$$f(X)$, przy czym $f(X)f(X^{-1})=1$$f(X)f(X^{-1})=1$;

Sam schemat $\mathrm {Spec} \mathbb {Z} \left[X,X^{-1}\right]$$\mathrm {Spec} \mathbb {Z} \left[X,X^{-1}\right]$ też jest nazywany grupą multyplikatywną.

Zobacz też

• grupa
• grupa addytywna
• multyplikatywna grupa klas reszt