Algebra nad ciałem

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Algebra nad ciałem a. algebra liniowaprzestrzeń liniowa wyposażona w dwuliniowe (wewnętrzne) działanie dwuargumentowe, nazywane mnożeniem (wektorów), które czyni z niej pierścień (niekoniecznie łączny).

Definicja[edytuj]

Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem Jeżeli dane jest działanie dwuargumentowe mnożenia wektorów (oznaczone niżej przez zestawienie argumentów), które dla dowolnych oraz spełnia warunki

  • lewostronnej i prawostronnej rozdzielności względem dodawania wektorów,
  • zgodności z działaniem mnożenia przez skalary,

to z tak wprowadzoną strukturą nazywa się algebrą nad ciałem bądź -algebrą.

Zwykle mnożenie wektorów jest łączne (powstały pierścień jest łączny; jest to jeden z najczęściej nakładanych na pierścienie warunków), to o algebrze mówi się, że jest łączna; algebra Leibniza to algebra, w której mnożenia spełnia tożsamość Leibniza, z kolei algebrą Liego nazywa się algebrę, w której mnożenie spełnia tożsamość Jacobiego – algebra Leibniza jest algebrą Liego wtedy i tylko wtedy, gdy mnożenie jest antyprzemienne (każdą algebrę łączną można przekształcić w algebrę Liego/Leibniza z działaniem mnożenia zdefiniowanym jako komutator/antykomutator).

Jeżeli mnożenie wektorów jest przemienne (tworzy pierścień przemienny, wtedy warunki lewo- i prawostronnej rozdzielności są równoważne), to algebrę nazywa się przemienną. Jeśli działanie to ma element neutralny różny od elementu zerowego (pierścień ma jedynkę i jest przy tym nietrywialny), to o algebrze mówi się, że jest z jedynką (czasami nieściśle: z jednością) albo unitarna. Jeżeli każdy niezerowy element algebry z jednością jest odwracalny (przypadek pierścienia z dzieleniem), to mówi się wtedy o algebrze z dzieleniem. Łączna algebra przemienna z dzieleniem tworzy ciało.

Pojęcia[edytuj]

Bazą algebry nazywa się bazę przestrzeni liniowej podobnie wymiarem algebry jest wymiar przestrzeni Podalgebrą algebry nazywa się taką jej podprzestrzeń liniową która jest zarazem podpierścieniem pierścienia a więc wraz z dwoma elementami należą do niej również elementy oraz Lewostronnym, lub odpowiednio prawostronnym, ideałem algebry nazywa się taką jej podprzestrzeń liniową która jest lewostronnym, lub odpowiednio prawostronnym, ideałem pierścienia a więc w której dla oraz element bądź odpowiednio

Przykłady[edytuj]

  • Dowolne ciało tworzy algebrę nad samym sobą (w tym ciało liczb zespolonych).
  • Nieprzemienna algebra kwaternionów (pierścień z dzieleniem).
  • Każde rozszerzenie ciała może być traktowane jako -algebra przemienna z mnożeniem zewnętrznym elementów z przez elementy z zdefiniowanym jako zawężenie mnożenia do
  • Algebra macierzy, tzn. zbiór macierzy kwadratowych stopnia nad ustalonym ciałem z dodawaniem i mnożeniem (Cauchy'ego) oraz mnożeniem macierzy przez skalar, jest nieprzemienną algebrą nad ciałem wymiaru Ogólniej, zbiór wszystkich endomorfizmów przestrzeni liniowej (zob. przekształcenie liniowe) wymiaru większego niż z działaniami ich dodawania i mnożenia oraz mnożenia endomorfizmów przez skalary (określonymi punktowo) jest algebrą nieprzemienną. W ogólności pierścień wielomianów oraz ciało wyrażeń wymiernych (bądź odpowiednio funkcji wielomianowych oraz funkcji wymiernych) z dodawaniem i mnożeniem elementów oraz mnożeniem ich przez skalar (określonymi punktowo, zob. przestrzeń funkcyjna) tworzą zwykle algebry nieprzemienne.
  • Algebra zerowa, w której iloczyn dowolnych dwóch elementów wynosi 0, jest algebrą łączną i przemienną, ale nie unitarną. Może być rozszerzona do algebry z jedynką poprzez wzięcie sumy prostej jej i ciała, czego przykładem są liczby dualne.
  • Algebra grupowa, zdefiniowana dla dowolnej grupy skończonej jako zbiór wszystkich wyrażeń formalnych postaci , gdzie współczynniki są elementami ciała. Działania dodawania i mnożenia przez skalary są określone tak jak w przestrzeniach wektorowych. Mnożenie jest zdefiniowane jako mnożenie wyrażeń algebraicznych, gdzie mnożeniu elementów odpowiada działanie grupowe.
  • Algebra incydencji, zdefiniowana dla dowolnego lokalnie skończonego częściowego porządku jako zbiór funkcji na parach elementów równych 0 dla wszystkich par niespełniających . Dodawanie i mnożenie przez skalarzdefiniowane punktowo; mnożenie za pomocą splotu . Dla porządku lokalnie skończonego taka suma ma skończenie wiele składników.

Zobacz też[edytuj]