Algebra nad ciałem

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Tego pojęcia nie należy mylić z algebrą zbiorów.

Algebra nad ciałem (algebra liniowa)przestrzeń liniowa wyposażona w dwuliniowe (wewnętrzne) działanie dwuargumentowe, nazywane mnożeniem (wektorów), które czyni z niej pierścień (niekoniecznie łączny).

Definicja algebry[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem Jeżeli dane jest działanie dwuargumentowe mnożenia wektorów, które dla dowolnych oraz spełnia warunki

  • lewostronnej i prawostronnej rozdzielności względem dodawania wektorów,
  • zgodności z działaniem mnożenia przez skalary,

to z tak wprowadzoną strukturą nazywa się algebrą nad ciałem bądź -algebrą.

Baza i wymiar algebry. Podalgebra. Ideał[edytuj | edytuj kod]

Bazą algebry nazywa się bazę przestrzeni liniowej

Wymiarem algebry jest wymiar przestrzeni

Podalgebrą algebry nazywa się jej podprzestrzeń liniową która jest zarazem podpierścieniem pierścienia tzn. jeżeli to oraz

Ideałem lewostronnym (lub ideałem prawostronnym) algebry nazywa się taką jej podprzestrzeń liniową która jest lewostronnym (odpowiednio prawostronnym) ideałem pierścienia a więc jeżeli oraz to (odpowiednio ).

Szczególne rodzaje algebr[edytuj | edytuj kod]

Algebra łączna[edytuj | edytuj kod]

– algebra, w której mnożenie wektorów jest łączne.

Powstały pierścień jest łączny (jest to jeden z najczęściej nakładanych na pierścienie warunków).

Algebra przemienna[edytuj | edytuj kod]

– algebra, w której mnożenie wektorów jest przemienne.

Algebra przemienna tworzy wtedy pierścień przemienny, a warunki lewo- i prawostronnej rozdzielności są równoważne.

Algebra z jedynką[edytuj | edytuj kod]

– zwana też algebrą unitarną, nieściśle: algebrą z jednością – algebra, w której działanie ma element neutralny różny od elementu zerowego

Oznacza to, że pierścień ma jedynkę i jest przy tym nietrywialny.

Algebra z dzieleniem[edytuj | edytuj kod]

– algebra z jedynką, w której każdy niezerowy element jest odwracalny.

Oznacza to, że pierścień jest z dzieleniem.

Tw. Algebra łączna i przemienna z dzieleniem tworzy ciało.

Algebra Leibniza[edytuj | edytuj kod]

– algebra, w której mnożenia spełnia tożsamość Leibniza.

Algebra Liego[edytuj | edytuj kod]

– algebra, w której mnożenie wektorów jest dwuliniowe, antysymetryczne i spełnia tożsamość Jacobiego. Mnożenie to nazywa się nawiasem Liego.

Tw. Algebra Leibniza jest algebrą Liego wtedy i tylko wtedy, gdy mnożenie jest antyprzemienne.

Tw. Każdą algebrę łączną można przekształcić w algebrę Liego / Leibniza, jeżeli zdefiniuje się działanie mnożenia jako komutator / antykomutator.

Przykłady algebr[edytuj | edytuj kod]

  • Dowolne ciało tworzy algebrę nad samym sobą (w tym ciało liczb zespolonych).
  • Algebra kwaternionów (pierścień z dzieleniem) – to algebra nieprzemienna.
  • Każde rozszerzenie ciała może być traktowane jako -algebra przemienna z mnożeniem zewnętrznym elementów z przez elementy z zdefiniowanym jako zawężenie mnożenia do
  • Algebra macierzy: zbiór macierzy kwadratowych stopnia nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych, z dodawaniem i mnożeniem macierzy przez siebie oraz mnożeniem macierzy przez skalar; jest to algebra nieprzemienna o wymiarze
  • Algebra endomorfizmów: zbiór wszystkich endomorfizmów przestrzeni liniowej (zob. przekształcenie liniowe) wymiaru większego niż z działaniami ich dodawania i mnożenia oraz mnożenia endomorfizmów przez skalary (określonymi punktowo) jest algebrą nieprzemienną.
  • Pierścień wielomianów oraz ciało wyrażeń wymiernych (bądź odpowiednio funkcji wielomianowych oraz funkcji wymiernych) z dodawaniem i mnożeniem elementów oraz mnożeniem ich przez skalar (określonymi punktowo, zob. przestrzeń funkcyjna) tworzą zwykle algebry nieprzemienne.
  • Algebra zerowa, w której iloczyn dowolnych dwóch elementów wynosi 0, jest algebrą łączną i przemienną, ale nie unitarną. Może być rozszerzona do algebry z jedynką poprzez wzięcie sumy prostej jej i ciała, czego przykładem są liczby dualne.
  • Algebra grupowa, zdefiniowana dla dowolnej grupy skończonej jako zbiór wszystkich wyrażeń formalnych postaci gdzie współczynniki są elementami ciała. Działania dodawania i mnożenia przez skalary są określone tak jak w przestrzeniach wektorowych. Mnożenie jest zdefiniowane jako mnożenie wyrażeń algebraicznych, gdzie mnożeniu elementów odpowiada działanie grupowe.
  • Algebra incydencji, zdefiniowana dla dowolnego lokalnie skończonego częściowego porządku jako zbiór funkcji na parach elementów równych 0 dla wszystkich par niespełniających Dodawanie i mnożenie przez skalarzdefiniowane punktowo; mnożenie za pomocą splotu Dla porządku lokalnie skończonego taka suma ma skończenie wiele składników.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]