Metryka Hausdorffa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Metryka Hausdorffa, zwana inaczej odstępem Hausdorffa – odległość pomiędzy zwartymi podzbiorami przestrzeni metrycznej zupełnej .

Definicja[edytuj]

Niech będzie dowolną przestrzenią metryczną zupełną, a przestrzenią, której elementami są zwarte i niepuste podzbiory przestrzeni . Niech i będą elementami przestrzeni , a elementami przestrzeni , przy czym . Wyrażenia:

oznaczają odpowiednio odstęp punktu od zbioru i odstęp punktu od zbioru . Z kolei wyrażenia:

oznaczają odpowiednio odstęp zbioru od zbioru i odstęp zbioru od zbioru .
Metryką Hausdorffa nazywamy funkcję określoną wzorem:[1][2][3]

Uwagi[edytuj]

  • Minima i maksima w powyższych zbiorach są osiągane ze względu na zwartość zbiorów i .
  • Gdy , to .
  • Gdy , to .
  • Odstępy   i   mogą być różne. Jest tak na przykład, gdy A  jest podzbiorem właściwym zbioru B.
  • Alternatywnie, metrykę Hausdorffa można zdefiniować w języku -otoczeń. Dla danego zbioru i oznaczamy kulę o środku i promieniu oraz określamy
Wówczas metrykę Hausdorffa możemy przedstawić w postaci wyrażenia:
  oraz  
  • Odwzorowanie jest zanurzeniem izometrycznym przestrzeni w przestrzeń . Ponadto zbiór jest domknięty w , co oznacza, że ciąg zbiorów jednoelementowych może zbiegać co najwyżej do zbioru jednoelementowego.
  • Przestrzeń  ,  z wprowadzoną metryką Hausdorffa jest przestrzenią metryczną zupełną wtedy i tylko wtedy, gdy jest zupełna[1][2][4].
  • Topologia przestrzeni zależy od topologii przestrzeni ,  a nie od samej metryki d:  gdy metrykę d zastąpić przez topologicznie równoważną d' (obie w X), to nowa, indukowana metryka Hausdorffa w H(X) będzie topologicznie równoważna starej (będzie indukować tę samą topologię w H(X)).
  • Zbiór jest skończony jest gęsty w .

Przykład[edytuj]

W przestrzeni z metryką euklidesową rozważmy dwa zbiory domknięte: oraz . Odpowiednie odległości wynoszą:

Uogólnienia[edytuj]

Metryka Hausdorffa może być definowana w podobny sposób dla domkniętych i niekoniecznie zwartych podzbiorów przestrzeni . W tym wypadku metryka może przyjmować wartości nieskończone, a topologia przestrzeni będzie zależeć nie tylko od topologii przestrzeni , ale też od użytej w metryki .
Z kolei, dla zbiorów niekoniecznie domkniętych można podobnie zdefiniować funkcję odległości, jako odległość między domknięciami tych zbiorów. Funkcja będzie pseudometryką (nie będzie spełniać warunków metryki – odległość pomiędzy dwoma różnymi zbiorami mającymi to samo domknięcie będzie równa zero, wbrew pierwszemu warunkowi definicji metryki).

Przypisy

  1. a b Barnsley 1988 ↓, s. 29-42.
  2. a b Engelking 1975 ↓, s. 363-364.
  3. Kudrewicz 2007 ↓, s. 28-30.
  4. Edgar 2008 ↓, s. 71-73.

Bibliografia[edytuj]

  • Michael Barnsley: Fractals Everywhere. San Diego: Academic Press, 1988. (ang.)
  • Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Warszawa: 1975.
  • Jacek Kudrewicz: Fraktale i chaos. Wyd. czwarte. Warszawa: WNT, 2007.
  • Gerald Edgar: Measure, topology and fractal geometry. Wyd. drugie. Springer, 2008, s. 71-73. (ang.)