Kontrakcja (matematyka)

Kontrakcja, odwzorowanie zwężające – przekształcenie $f$ z przestrzeni metrycznej $(X,\varrho _{X})$ w przestrzeń metryczną $(Y,\varrho _{Y}),$ dla którego istnieje stała rzeczywista $\alpha \in [0,1)$ taka, że dla dowolnych $x_{1},x_{2}\in X$ zachodzi nierówność:

$\varrho _{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leqslant \alpha \varrho _{X}(x_{1},x_{2}).$

Innymi słowy, kontrakcja to odwzorowanie spełniające warunek Lipschitza ze stałą mniejszą od 1. Najmniejsza stała $\alpha ,$ dla której powyższy warunek jest spełniony, bywa nazywana stałą kontrakcji.

Własności

• Każda kontrakcja, jako funkcja lipschitzowska, jest ciągła i to jednostajnie.
• Każda kontrakcja niepustej przestrzeni zupełnej w siebie ma dokładnie jeden punkt stały; fakt ten jest znany jako twierdzenie Banacha o kontrakcji. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe – nie tylko kontrakcje mają punkty stałe.

Bibliografia

• JarosławJ. Górnicki JarosławJ., Wariacje na temat Zasady Banacha, Uniwersytet Przyrodniczo-Humanistyczny w Siedlcach, smp.uph.edu.pl, 2008 [dostęp 2023-08-26] .
• Jarosław Górnicki: Okruchy matematyki. Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009. ISBN 978-83-01-16002-9.