Kontrakcja (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kontrakcja lub odwzorowanie zwężające – przekształcenie z przestrzeni metrycznej w przestrzeń metryczną , dla którego istnieje stała rzeczywista taka, że dla dowolnych zachodzi nierówność

Innymi słowy, kontrakcja to odwzorowanie spełniające warunek Lipschitza ze stałą mniejszą od 1. Najmniejsza stała , dla której powyższy warunek jest spełniony, bywa nazywana stałą kontrakcji.

Ciągłość[edytuj]

Każda kontrakcja, jako odwzorowanie lipschitzowskie, jest odwzorowaniem jednostajnie ciągłym, a więc w szczególności ciągłym.

Twierdzenie Banacha[edytuj]

Jeśli jest kontrakcją z niepustej przestrzeni zupełnej w siebie, to twierdzenie Banacha o kontrakcji orzeka, że ma dokładnie jeden punkt stały; co więcej, dla dowolnego punktu , ciąg jest zbieżny do wspomnianego punktu stałego.

Zobacz też[edytuj]