Kontrakcja (matematyka)

Kontrakcja lub odwzorowanie zwężające – przekształcenie $f$ z przestrzeni metrycznej $(X,\varrho _{X})$ w przestrzeń metryczną $(Y,\varrho _{Y}),$ dla którego istnieje stała rzeczywista $\alpha \in [0,1)$ taka, że dla dowolnych $x_{1},x_{2}\in X$ zachodzi nierówność

$\varrho _{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leqslant \alpha \varrho _{X}(x_{1},x_{2}).$

Innymi słowy, kontrakcja to odwzorowanie spełniające warunek Lipschitza ze stałą mniejszą od 1. Najmniejsza stała $\alpha ,$ dla której powyższy warunek jest spełniony, bywa nazywana stałą kontrakcji.

Ciągłość

Każda kontrakcja, jako odwzorowanie lipschitzowskie, jest odwzorowaniem jednostajnie ciągłym, a więc w szczególności ciągłym.

Twierdzenie Banacha

Jeśli $f:X\to X$ jest kontrakcją z niepustej przestrzeni zupełnej $X$ w siebie, to twierdzenie Banacha o kontrakcji orzeka, że $f$ ma dokładnie jeden punkt stały; co więcej, dla dowolnego punktu $x\in X,$ ciąg $x,f(x),f(f(x)),f(f(f(x))),\dots$ jest zbieżny do wspomnianego punktu stałego.

Zobacz też

• odwzorowanie nierozszerzające