Kontrakcja (matematyka)
Kontrakcja lub odwzorowanie zwężające – przekształcenie z przestrzeni metrycznej w przestrzeń metryczną dla którego istnieje stała rzeczywista taka, że dla dowolnych zachodzi nierówność
Innymi słowy, kontrakcja to odwzorowanie spełniające warunek Lipschitza ze stałą mniejszą od 1. Najmniejsza stała dla której powyższy warunek jest spełniony, bywa nazywana stałą kontrakcji.
Ciągłość[edytuj | edytuj kod]
Każda kontrakcja, jako odwzorowanie lipschitzowskie, jest odwzorowaniem jednostajnie ciągłym, a więc w szczególności ciągłym.
Twierdzenie Banacha[edytuj | edytuj kod]
Jeśli jest kontrakcją z niepustej przestrzeni zupełnej w siebie, to twierdzenie Banacha o kontrakcji orzeka, że ma dokładnie jeden punkt stały; co więcej, dla dowolnego punktu ciąg jest zbieżny do wspomnianego punktu stałego.